Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（經過原點）與x軸相交于N點，直線y=kx+4與坐標軸分別相交于A、D兩點，與拋物線相交于B（1，m）和C（2，2）兩點．
（1）求直線與拋物線的表達式；
（2）求證：C點是△AOD的外心；
（3）若（1）中的拋物線，在x軸上方的部分，有一動點P（x，y），設∠PON=α．當sinα為何值時，△PON的面積有最大值？
（4）若P點保持（3）中運動路線，是否存在△PON，使得其面積等于△OCN面積的

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？若存在，求出動點P的位置；若不存在，請說出理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經過原點，可得其表達式可以寫成y=ax²+bx，又由直線y=kx+4與拋物線相交于B、C兩點，把兩點的坐標代入y=kx+4，利用待定系數法即可求得直線的表達式與點B與C的坐標，繼而求得拋物線的表達式；
（2）由（1）中直線的解析式，求得A與D的坐標，可得AC=CD=OC=

1

2

AD，即可得C點是△AOD的外心；
（3）通過分析可得P為頂點時，S_△OPN面積最大．求得頂點的坐標，根據正弦函數的定義，即可求得sinα的值；
（4）首先過點P作PE⊥x軸于N點，設點P的坐標為（x，-2x²+5x），即可表示出△PON的面積，然后求得△OCN的面積，由△PON的面積等于△OCN面積的

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，即可得方程，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過原點，
∴其表達式可以寫成y=ax²+bx．
∵直線y=kx+4與拋物線相交于B、C兩點，把兩點的坐標代入y=kx+4，得：

2=2k+4 m=k+4

，
解得：

k=-1 m=3

，
∴直線是：y=-x+4，
點B（1，3），C（2，2）代入二次函數的表達式，得：

3=a+b 2=4a+2b

，
解得：

a=-2 b=5

，
∴拋物線的表達式為：y=-2x²+5x．

（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；
令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0）．
∴AD=

42+42

=4

2

．而OC=2

2

，
∴OC=

1

2

AD．
∴C是Rt△AOD的外心．

（3）通過分析知道，P為頂點時，S_△OPN面積最大．
此時，P（

5

4

，

25

8

），
又∵方程-2x²+5x=0的兩根是x₁=0，x₂=

5

2

，即ON=

5

2

．
∴OP=

( 5 4 )2+( 25 8 )2

=

5 29

8

．
∴sinα=

25 8

5 29 8

=

25

8

×

8

5 29

=

5

29

29

，此時△PON有最大面積（底是相同的）．

（4）存在．
理由：過點P作PE⊥x軸于N點，
設點P的坐標為（x，-2x²+5x），
∴S_△OCN=

1

2

ON•PD=

1

2

×

5

2

×（-2x²+5x）=

5

4

（-2x²+5x），
∵S_△OCN=ON×2×

1

2

=ON=

5

2

，
又∵△PON的面積等于△OCN面積的

9

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，
∴

5

4

（-2x²+5x）=

5

2

×

9

16

，
解得：x₁=

1

4

，x₂=

9

4

，
∴當x=

1

4

時，y=

9

8

，
當x=

9

4

時，y=

9

8

，
∴點P的坐標為（

1

4

，

9

8

）或（

9

4

，

9

8

）．

點評：此題考查了一次函數與二次函數的綜合應用．此題綜合性很強，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數的解析式，掌握點與函數的關系，圓的外心的定義，三角函數以及三角形面積的求解方法等知識．注意數形結合思想與方程思想的應用．