Question

如圖，已知與x軸交于點A（1，0）和B（5，0）的拋物線l₁的頂點為C（3，4），拋物線l₂與l₁關于x軸對稱，頂點為C′．
（1）求拋物線l₂的函數關系式；
（2）已知原點O，定D（0，4），l₂上的點P與l₁上的P′始終關于x軸對稱，則當點P運動到何處時，以點D、O、P、P′為頂點的四邊形是平行四邊形？
（3）設l₂上的點M、N分別與l₁上的點M′、N′始終關于x軸對稱．是否存在點M、N（M在N的左側），使四邊形MNN?M?是正方形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出C′點坐標，將A、B兩點坐標代入y=a（x-3）²-4即可求得拋物線l₂的函數關系式；
（2）由題意可知PP′與y軸平行，令2|m²-6m+5|=4解方程，求得m的值，便可求出滿足題意得P點坐標；
（3）由題意可知點M、N關于直線x=3對稱，正方形MNN′M′的邊長為2|y₀|，解方程求出y₀即可求出相應的點M的坐標．

解答：解：（1）由題意知點C′的坐標為（3，-4）．
設l₂的函數關系式為y=a（x-3）²-4．（1分）
又因為點A（1，0）在拋物線y=a（x-3）²-4上，
a（1-3）²-4=0，解得a=1．
∴拋物線l₂的函數關系式為y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．（2分）

（2）∵P與P′始終關于x軸對稱，
∴PP′與y軸平行．
設點P橫坐標為m，則其縱坐標為m²-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
當m²-6m+5=2時，解得m=3±

6

．
當m²-6m+5=-2時，解得m=3±

2

．
∴當點P運動到（3-

6

，2）或（3+

6

，2）或到（3-

2

，-2）或（3+

2

，-2）時，PP′∥OD且PP′=OD，
以點為D、O、P、P′為頂點的四邊形是平行四邊形．（6分）

（3）存在滿足條件的點M、N．由拋物線的對稱性可知，點M、N關于直線x=3對稱．
設M（x₀，y₀），則正方形MNN′M′的邊長為2|y₀|．
∵點M在l₂上，
∴y₀=（3-|y₀|-3）²-4，
解得y₀=

1± 17

2

．
∴x₀=3-|y₀|=

5- 17

2

或

7- 17

2

∴點M的坐標為（

5 - 17

2

，

1+ 17

2

）或（

7- 17

2

，

1- 17

2

）．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和平行四邊形和正方形的性質等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．