題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓
的左頂點
，過右焦點
且垂直于長軸的弦長為
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若過點
的直線
與橢圓交于點
，與
軸交于點
，過原點與平行的直線與橢圓交于點
，求證：
為定值．
已知橢圓
的左頂點
，過右焦點
且垂直于長軸的弦長為
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若過點
的直線
與橢圓交于點
，與
軸交于點
，過原點與平行的直線與橢圓交于點
，求證：
為定值．
的左頂點
，過右焦點
且垂直于長軸的弦長為
．
的方程；
的直線
與橢圓交于點
，與
軸交于點
，過原點與平行的直線與橢圓交于點
，求證：
為定值．過橢圓
的左頂點
的斜率為
的直線交橢圓
于另一個點
，且點在
軸上的射影恰好為右焦點
，若
則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
過橢圓
的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若
則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.
1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分16分.
13. 
14. 
15.
16.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 本題主要考查三角函數的基本公式，考查運算能力. 滿分12分.
解：（Ⅰ）在
中，因為
，
所以
. ……………………………（3分）
所以
.
…………………………（6分）
（Ⅱ）根據正弦定理得：
，
所以
. ……………………………（9分）
所以
. ………………………………………………………（12分）
18．本題主要考查直線與平面的位置關系，考查空間想像能力，推理論證能力和運算求解能
力. 滿分12分.
解：（Ⅰ）因為平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，
因為G是等邊三角形ABE的邊AE的中點，所以BG⊥AE，……………（2分）
所以
．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）取DE中點M，連結MG、FM，
因為MG 
AD，BF AD，所以MG BF，
四邊形FBGM是平行四邊形，所以BG//FM.（6分）
又因為FM
平面EFD，BG
平面EFD，
所以BG//平面EFD. ………………（8分）
（Ⅲ）因為DA⊥平面ABE，BG平面ABE，所以DA⊥BG. …………………（9分）
又BG⊥AE，AD
AE＝A，
所以BG⊥平面DAE，又AP平面DAE，………………………………（11分）
所以BG⊥AP. ……………………………………………………………（12分）
19. 本題主要考查等差數列、等比數列的基本知識，考查運算求解能力及推理能力. 滿分12分.
解：（Ⅰ）設該等差數列的公差為
，依題意得：
………（2分）
解得：
………………………………………………………（4分）
所以數列
的通項公式為
. ………………………………（6分）
（Ⅱ）依題意得：
………………（9分）
. ………（12分）
20. 本題主要考查概率、統計的基本知識，考查應用意識. 滿分12分.
解：（Ⅰ）設每個報名者能被聘用的概率為P，依題意有：
.
答：每個報名者能被聘用的概率為0.02. ………………………………………（4分）
（Ⅱ）設24名筆試者中有x名可以進入面試，依樣本估計總體可得：
，解得：
，從表中可知面試的切線分數大約為80分.
答：可以預測面試的切線分數大約為80分. ……………………………………（8分）
（Ⅲ）從聘用的四男、二女中選派兩人的基本事件有：（a,b）,( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,
(a, f) ,( b, c) ,（b,d）,( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,（c, e）,( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,（e, f）,共15種.
選派一男一女參加某項培訓的種數有:
(a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),（c,e）,(c, f) ,(d,e) ,(d, f)，共8種
所以選派結果為一男一女的概率為
.
答：選派結果為一男一女的概率為.
…………………………………（12分）
21．本題主要考查圓、直線與橢圓的位置關系等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、
解決問題的能力. 滿分12分
解：（Ⅰ）由已知得，
,所以
又
，所以
，橢圓C的方程為
………（3分）
因為
，所以
，可求得
或
，…（5分）
所以
的外接圓D的方程是
或
．
………………………………………………………………（7分）(少一解扣1分)
（Ⅱ）當直線
的斜率不存在時，由（Ⅰ）得
，
，
可得
，所以
．…………………………………（8分）
當直線的斜率存在時，設其斜率為
，顯然
，
則直線的方程為
，設點
，
將代入方程
，并化簡得：
……………………………………（9分）
可得：
，
，
……………………（10分）
所以
．
綜上，． ………………………………………………………（12分）
22．本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識，考查運用導
數研究函數性質的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.
解：（Ⅰ）依題意，知
的定義域為
. …………………………………（1分）
當
時，
，
. ………………………………（2分）
令
，解得
.
當
時，
，此時
單調遞增；
當
時，
，此時單調遞減. ……………………………（3分）
所以的極大值為
，此即為最大值 . ……………………（4分）
（Ⅱ）
，
所以
，在
上恒成立，………………（6分）
所以
，…………………………………（7分）
當
時，
取得最大值．所以
．
………………（9分）
（Ⅲ）因為方程
有唯一實數解，所以
有唯一實數解．設
，則
.
令
，得
．
因為
，
所以
（舍去），
，
………（10分）
當
時，
，
在
單調遞減，
當
時，
，在
單調遞增．
當
時，
，取最小值
. ……………………（11分）
因為
有唯一解，所以
．
則
，即
所以
，
因為
，所以
．
…………………………（12分）
設函數
，
因為當
時，
是增函數，所以
至多有一解． ………（13分）
因為
，所以方程
的解為
，即
，
解得
……………………………………………（14分）
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