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遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈8：

數學歸納法

試題詳情

2009年全國名校高三模擬試題分類匯編

圓錐曲線

試題詳情

海門實驗學校08―09年度第一學期高二年級期中考試

化學試題（必修）

命題人：吳一平 2008-10-30

1、本試題供非化學班學生使用；滿分100，答題時間為60分鐘。

2、請將第Ⅰ卷選擇題答案填入答題卡中，第Ⅱ卷非選擇題答案直接填在試卷上。

第Ⅰ卷（選擇題共69分）

試題詳情

2009年全國名校高三模擬試題分類匯編

圓錐曲線

試題詳情

遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈7：

立體幾何

高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道, 主觀題1道), 共計總分27分左右,考查的知識點在20個以內. 選擇填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當然, 二者均應以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著”多一點思考,少一點計算”的發展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉體為載體的線面位置關系的論證,角與距離的探求是常考常新的熱門話題.

例1 四棱錐P―ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD.

（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；

（2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

為從而只要算出四棱錐的高就行了.

面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，

∠PAB=60°.

而PB是四棱錐P―ABCD的高，PB=AB?tg60°=a,

.

（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側面PAD與PCD恒為全等三角形.

作AE⊥DP，垂足為E，連結EC，則△ADE≌△CDE，

是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

設AC與DB相交于點O，連結EO，則EO⊥AC，

在

故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.

本小題主要考查線面關系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設計新穎, 特征鮮明的好題.

（1）求證：AB₁⊥平面CED；

（2）求異面直線AB₁與CD之間的距離；

（3）求二面角B₁―AC―B的平面角.

講解:（1）∵D是AB中點，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁， ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE ∴DE⊥AB₁

∴DE是異面直線AB₁與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=

∴；

（3）連結B₁C，易證B₁C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B₁CB是二面角B₁―AC―B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,

∴∠B₁AC=60⁰

∴， ∴,

∴ , ∴.

作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當然, 準確地作出應當有嚴格的邏輯推理作為基石.

例3 如圖a―l―是120°的二面角，A，B兩點在棱上，AB=2，D在內，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在內，ABC是等腰直角三角形∠ACB=

（I）求三棱錐D―ABC的體積；

（2）求二面角D―AC―B的大小；

（3）求異面直線AB、CD所成的角.

講解: (1) 過D向平面做垂線，垂足為O，連強OA并延長至E.

為二面角a―l―的平面角..

是等腰直角三角形，斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=

（2）過O在內作OM⊥AC,交AC的反向延長線于M,連結DM.則AC⊥DM.∴∠DMO 為二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且

（3）在平在內，過C作AB的平行線交AE于F，∠DCF為異面直線AB、CD所成的角. 為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即△ABC斜邊上的高,

異面直線AB,CD所成的角為arctg

比較例2與例3解法的異同, 你會得出怎樣的啟示? 想想看.

例4

圖① 圖②

講解: 設容器的高為x．則容器底面正三角形的邊長為,

.

當且僅當 .

故當容器的高為時，容器的容積最大，其最大容積為

對學過導數的同學來講，三次函數的最值問題用導數求解是最方便的，請讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國高考文科數學壓軸題有關，還請做做對照. 類似的問題是:

某企業設計一個容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當圓柱的底面半徑r和圓柱的高h為何值時，制造這個密閉容器的用料最省（即容器的表面積最小）.

例5 已知三棱錐P―ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，

D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．

（1）求證：AP⊥平面BDE；

（2）求證：平面BDE⊥平面BDF；

（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐

P―ABC所成兩部分的體積比．

講解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．

由AB=BC，D為AC的中點，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．

（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分別為AC、PC的中點，得DF//AP．

由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．

又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．

（3）設點E和點A到平面PBC的距離分別為h₁和h₂．則

h₁∶h₂=EP∶AP=2∶3,

故截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1

值得注意的是, “截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分的體積比”并沒有說明先后順序, 因而最終的比值答案一般應為兩個, 希不要犯這種”會而不全”的錯誤.

例6 已知圓錐的側面展開圖是一個半圓，它被過底面中心O₁且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側面的交線是焦參數（焦點到準線的距離）

為p的拋物線.

（1）求圓錐的母線與底面所成的角；

（2）求圓錐的全面積．

講解: （1）設圓錐的底面半徑為R，母線長為l，

由題意得：,

即,

所以母線和底面所成的角為

（2）設截面與圓錐側面的交線為MON，其中O為截面與

AC的交點，則OO₁//AB且

在截面MON內，以OO₁所在有向直線為y軸，O為原點，建立坐標系，則O為拋物的頂點，所以拋物線方程為x²=－2py，點N的坐標為（R，－R），代入方程得

R²=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.

∴圓錐的全面積為.

將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預示了高考命題的新動向. 類似請思考如下問題:

一圓柱被一平面所截，截口是一個橢圓．已知橢圓的

長軸長為5，短軸長為4，被截后幾何體的最短側面母

線長為1，則該幾何體的體積等于．

例7 如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分別為EB和AB的中點.

（2）求證：AF⊥BD；

(3) 求二面角B―FC―G的正切值.

講解: ∵F、G分別為EB、AB的中點，

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC，

∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F為EB中點，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

過G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角.

易求.

例8 如圖，正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P、Q分別是線段AD₁和BD上的點，且

D₁P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

(1) 求證PQ∥平面CDD₁C₁；

(2) 求證PQ⊥AD；

(3) 求線段PQ的長.

講解: （1）在平面AD₁內，作PP₁∥AD與DD₁交于點P₁，在平面AC內，作

QQ₁∥BC交CD于點Q₁，連結P₁Q₁.

∵ , ∴PP₁QQ₁ .?

由四邊形PQQ₁P₁為平行四邊形, 知PQ∥P₁Q₁??

而P₁Q₁平面CDD₁C₁，所以PQ∥平面CDD₁C₁?

（2）AD⊥平面D₁DCC₁， ∴AD⊥P₁Q₁，?

又∵PQ∥P₁Q₁， ∴AD⊥PQ.?

（3）由（1）知P₁Q₁PQ,

，而棱長CD=1. ∴DQ₁=. 同理可求得 P₁D=.

在Rt△P₁DQ₁中，應用勾股定理, 立得

P₁Q₁=.?

做為本題的深化, 筆者提出這樣的問題: P, Q分別是BD,上的動點,試求的最小值, 你能夠應用函數方法計算嗎? 試試看. 并與如下2002年全國高考試題做以對照, 你會得到什么啟示?

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=

（1）求MN的長；

（2）當為何值時，MN的長最小；

（3）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

立體幾何知識是復課耗時較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點, 依據課本, 熟化知識, 構建空間思維網絡, 掌握解三角形的基本工具, 嚴密規范表述, 定會突破解答立幾考題的道道難關.

試題詳情

2008年11月

綿陽南山中學2008年秋季高2010 級半期考試

化學試題

命題：張明盛審核：卿明華

可能用到的相對原子質量： H 1 O 16 Al 27　　

第I 卷（選擇題，共50 分）

試題詳情

遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈6：

幾何題

高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數方程和極坐標系中的基礎知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 求解有時還要用到平幾的基本知識, 這點值得考生在復課時強化.

例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.

(1)寫出直線的方程；

（2）計算出點P、Q的坐標；

（3）證明：由點P發出的光線，經AB反射后，反射光線通過點Q.

講解: 通過讀圖, 看出點的坐標.

(1 ) 顯然, 于是直線

的方程為；

（2）由方程組

解出、；

（3）,

.

由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數知，由點P發出的光線經點T反射，反射光線通過點Q.

需要注意的是, Q點的坐標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?

例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程．

講解：從直線所處的位置, 設出直線的方程,

由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為

代入橢圓方程得

化簡后，得關于的一元二次方程

于是其判別式

由已知，得△=0．即 ①

在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得

令頂點P的坐標為（x，y），由已知，得

代入①式并整理，得 , 即為所求頂點P的軌跡方程．

方程形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎?

例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是

（1）求雙曲線的方程；

（2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.

講解：∵（1）原點到直線AB：的距離.

故所求雙曲線方程為

（2）把中消去y，整理得 .

設的中點是，則

即

故所求k=±.

為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程.

例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F₁、F₂在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且∠F₁PF₂的最大值為90°，直線l過左焦點F₁與橢圓交于A、B兩點，△ABF₂的面積最大值為12．

（1）求橢圓C的離心率；

（2）求橢圓C的方程．

講解：（1）設, 對由余弦定理, 得

，

解出

（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：

i) 當k存在時，設l的方程為………………①

橢圓方程為

由得 .

于是橢圓方程可轉化為 ………………②

將①代入②，消去得 ,

整理為的一元二次方程，得 .

則x₁、x₂是上述方程的兩根．且

，

也可這樣求解：

AB邊上的高

ii) 當k不存在時，把直線代入橢圓方程得

由①②知S的最大值為由題意得=12 所以

故當△ABF₂面積最大時橢圓的方程為：

下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優劣：

設過左焦點的直線方程為：…………①

（這樣設直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）

橢圓的方程為：

由得：于是橢圓方程可化為：……②

把①代入②并整理得：

于是是上述方程的兩根.

,

AB邊上的高,

從而

當且僅當m=0取等號，即

由題意知, 于是 .

故當△ABF₂面積最大時橢圓的方程為：

例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.

（１）求此橢圓的離心率；

（2 ）若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.

講解:（1）設A、B兩點的坐標分別為得

,

根據韋達定理，得

∴線段AB的中點坐標為（）.

由已知得

故橢圓的離心率為 .

（2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為設關于直線的對稱點為

解得

由已知得

故所求的橢圓方程為 .

例6 已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，

（1）如果，求直線MQ的方程；

（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.

講解:（1）由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，

，

故，

所以直線AB方程是

（2）連接MB，MQ，設由

點M，P，Q在一直線上，得

由射影定理得

即把（*）及（**）消去a，并注意到，可得

適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙.

例7 如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變.

（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；

（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設，

試確定實數的取值范圍．

講解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示 .

∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y

C

A O B

∵

∴曲線E的方程是 .

（2）設直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得

設M₁（, 則

①

②

③

i) L與y軸重合時，

ii) L與y軸不重合時，

由①得

又∵,

∵ 或

∴0＜＜1 ,

∴ .

∵

而 ∴

∴

∴ , ,

∴的取值范圍是 .

值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應當引起警惕.

例8 直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A兩點.

（1）求證：;

（2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.

講解: （1）易求得拋物線的焦點.

若l⊥x軸，則l的方程為.

若l不垂直于x軸，可設,代入拋物線方程整理得 .

綜上可知 .

（2）設，則CD的垂直平分線的方程為

假設過F，則整理得

，.

這時的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.

此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯想中提升. 課本是高考試題的生長點，復課切忌忘掉課本！

例9 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？

講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標系，則在l一側必存在經A到P和經B到P路程相等的點，設這樣的點為M，則

|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,

即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,

,

∴M在雙曲線的右支上.

故曲線右側的土石層經道口B沿BP運往P處，曲線左側的土石層經道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工.

相關解析幾何的實際應用性試題在高考中似乎還未涉及，其實在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？

解析幾何解答題在歷年的高考中常考常新, 體現在重視能力立意, 強調思維空間, 是用活題考死知識的典范. 考題求解時考查了等價轉化, 數形結合, 分類討論, 函數與方程等數學思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數法, 參數法, 判別式法等數學通法.

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