遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈8：
數學歸納法
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1.在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為
n(n－3)條時，第一步驗證n等于
A. 1
B
2
等式12+22+32+…+n2=
A.n為任何自然數時都成立； B.僅當n=1，2，3時成立
C.n=4時成立，n=5時不成立； D.僅當n=4時不成立
3.用數學歸納法證明不等式
+…+
（n≥2,n∈N*)的過程中，由n=k逆推到n=k+1時的不等式左邊
A. 增加了1項
； B.增加了“
”，又減少了“
”
C.增加了2項 D.增加了，減少了
4.用數學歸納法證明（n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?5?…（2n－1)(n∈N*)時，假設n=k時成立，若證n=k+1時也成立，兩邊同乘
A.2k+1 B.
C.
D.
5.證明1+
+…+
(n∈N*)，假設n=k時成立，當n=k+1時，左端增加的項數是
A. 1項 B.k－1項 C.k項 D.2k項
6.上一個n級臺階，若每步可上一級或兩級,設上法總數為f(n),則下列猜想中正確的是
A.f(n)=n B.f(n)=f(n－1)+f(n－2)
C.f(n)=f(n－1)?f(n－2) D.f(n)=
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
7.凸n邊形內角和為f(k)，則凸k+1邊形的內角和f(k+1)=f(k)+___________.
8.觀察下列式子：1+
,1+
＜
,1+
,…則可歸納出：___________.
9.設f(n)=（1+
,用數學歸納法證明f(n)≥3.在“假設n=k時成立”后，f(k+1)與f(k)的關系是f(k+1)=f(k)?___________.
10.有以下四個命題：（1）2n＞2n+1(n≥3)
(2)2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1) (3)凸n邊形內角和為f(n)=(n－1)π(n≥3) (4)凸n邊形對角線條數f(n)=
(n≥4)．其中滿足“假設n=k(k∈N,k≥n0).時命題成立，則當n=k+1時命題也成立.”但不滿足“當n=n0（n0是題中給定的n的初始值）時命題成立”的命題序號是___________.
11.用數學歸納法證明
（a,b是非負實數，n∈N*)時，假設n=k命題成立之后，證明n=k+1命題也成立的關鍵是___________.
三、解答題（本大題共3小題，每小題9分，共27分）
12.已知an=
n∈N*求證：an＜1.
13.平面內有n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，試證明這n個圓把平面分成了n2－n+2個區域.
14.設f(k)是滿足不等式log2x+log2(3?2k－1－x)≥2k－1(k∈N*)的正整數x的個數.
（1）求f(k)的解析式；
（2）記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),Pn=n2+n－1（n∈N*）試比較Sn與Pn的大小.
一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 二、7.180°
8.1+
9.(1+
10.(2)（3） 11.兩邊同乘以
三、12.證明：(1)當n=1時，a1=
＜1，不等式成立.
（2）假設n=k(k≥1)時，不等式成立，即ak=
＜1
亦即1+22+33+…+kk＜(k+1)k
當n=k+1時
ak+1=
=
=(
)k＜1.
∴n=k+1時，不等式也成立.
由（1）、（2）知,對一切n∈N*，不等式都成立.
13.證明：（1）當n=1時，一個圓把平面分成兩個區域，而12－1+2=2，命題成立.
（2）假設n=k(k≥1)時，命題成立，即k個圓把平面分成k2－k+2個區域.
當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區域分成了兩部分，因此增加了2k個區域，共有k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2個區域.
∴n=k+1時，命題也成立.
由（1）、（2）知，對任意的n∈N*,命題都成立.
14.解：（1）∵log2x+log2(3?2k－1－x)≥2k－1
∴
,解得2k－1≤x≤2k,
∴f(k)=2k－2k－1+1=2k－1+1
(2)∵Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+22+…+2n－1+n=2n+n－1
∴Sn－Pn=2n－n2
n=1時,S1－P1=2－1=1＞0;n=2時，S2－P2=4－4=0
n=3時，S3－P3=8－9=－1＜0;n=4時，S4－P4=16－16=0
n=5時，S5－P5=32－25=7＞0;n=6時，S6－P6=64－36=28＞0
猜想，當n≥5時，Sn－Pn＞0
①當n=5時，由上可知Sn－Pn＞0
②假設n=k(k≥5)時，Sk－Pk＞0
當n=k+1時,Sk+1－Pk+1=2k+1－(k+1）2=2?2k－k2－2k－12(2k－k2)+k2－2k－1
=2(Sk－Pk)+k2－2k－1＞k2－2k－1=k(k－2)－1≥5(5－2)－1=14＞0
∴當n=k+1時，Sk+1－Pk+1＞0成立
由①、②可知，對n≥5，n∈N*，Sn－Pn＞0成立即Sn＞Pn成立
由上分析可知，當n=1或n≥5時，Sn＞Pn
當n=2或n=4時，Sn=Pn
當n=3時，Sn＜Pn. 
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