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2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座七

探究、操作性問題

【知識縱橫】

     探索研究是通過對題意的理解，解題過程由簡單到難，在承上啟下的作用下，引導(dǎo)學(xué)生思考新的問題，大膽進(jìn)行分析、推理和歸納，即從特殊到一般去探究，以特殊去探求一般從而獲得結(jié)論，有時(shí)還要用已學(xué)的知識加以論證探求所得結(jié)論。操作性問題是讓學(xué)生按題目要求進(jìn)行操作，考察學(xué)生的動手能力、想象能力和概括能力。

【典型例題】

【例1】（江蘇鎮(zhèn)江)探索研究

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的任一

點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線過且與軸平行，過作軸的平行線分別交軸，于，連結(jié)交軸于，直線交軸于．

（1）求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；  

（2）求證：①四邊形為平行四邊形；  ②平行四邊形為菱形；

（3）除點(diǎn)外，直線與拋物線有無其它公共點(diǎn)？并說明理由．

【思路點(diǎn)撥】（2）①證；②設(shè)，證AP=PQ;（3）求直線的解析式與拋物線方程組成聯(lián)立方程組，討論方程組解的情況。

【例2】（福建南平）

（1）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點(diǎn)．

①如圖1，求證：；

 ②探究：如圖1，         ；

如圖2，         ；

如圖3，         ．

（2）如圖4，已知：是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊；是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊．的延長相交于點(diǎn)．

①猜想：如圖4，         （用含的式子表示）；

②根據(jù)圖4證明你的猜想．

【思路點(diǎn)撥】（2）②由正邊形的內(nèi)角定理，證_。

【例3】（內(nèi)江市）

在一平直河岸同側(cè)有兩個(gè)村莊，到的距離分別是3km和2km，．現(xiàn)計(jì)劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個(gè)村莊供水．

方案設(shè)計(jì)

某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖13-1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為，且（其中于點(diǎn)）；圖13-2是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為，且（其中點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，與交于點(diǎn)）．

觀察計(jì)算

（1）在方案一中，         km（用含的式子表示）；

（2）在方案二中，組長小宇為了計(jì)算的長，作了如圖13-3所示的輔助線，請你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，         km（用含的式子表示）．

探索歸納

（1）①當(dāng)時(shí)，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②當(dāng)時(shí)，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）請你參考右邊方框中的方法指導(dǎo)，

就（當(dāng)時(shí)）的所有取值情況進(jìn)

行分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，

應(yīng)選擇方案一還是方案二？

【思路點(diǎn)撥】參考方法指導(dǎo)解答探索

歸納（2）。

【例4】（浙江寧波）如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為．

（1）如圖2，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊：

第一步  將矩形的短邊與長邊對齊折疊，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，鋪平后得折痕；

第二步    將長邊與折痕對齊折疊，點(diǎn)正好與點(diǎn)重合，鋪平后得折痕．

則的值是        ，的長分別是       ，        ．

（2）“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個(gè)比值；若不相等，請分別計(jì)算它們的比值．

（3）如圖3，由8個(gè)大小相等的小正方形構(gòu)成“”型圖案，它的四個(gè)頂點(diǎn)分別在“16開”紙的邊上，求的長．

（4）已知梯形中，，，，且四個(gè)頂點(diǎn)都在“4開”紙的邊上，請直接寫出2個(gè)符合條件且大小不同的直角梯形的面積．

【思路點(diǎn)撥】（3）證,，設(shè)，建立關(guān)于x的方程解之；（4）參考圖3分二類情形討論。

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、（山東聊城）探索研究：如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪

去一個(gè)同樣大小的正方形，再折合成一個(gè)無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）．

（1）要使長方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長為多少？

（2）你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；

（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個(gè)同樣大小的正方形和2個(gè)同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個(gè)有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．

2、（山東棗莊）把一副三角板如圖甲放置，其中，，，斜邊，．把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D₁CE₁（如圖乙）．這時(shí)AB與CD₁相交于點(diǎn)，與D₁E₁相交于點(diǎn)F．

（1）求的度數(shù)；

（2）求線段AD₁的長；

（3）若把三角形D₁CE₁繞著點(diǎn)順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)30°得△D₂CE₂，這時(shí)點(diǎn)B在△D₂CE₂的內(nèi)部、外部、還是邊上？說明理由．

3、（江蘇鹽城）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置

關(guān)系為   ▲   ，數(shù)量關(guān)系為   ▲   ．

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．

試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF

相交于點(diǎn)P，求線段CP長的最大值．

    4、（07麗水市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形的邊落在軸的正半軸上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的兩邊分別落在坐標(biāo)軸上，且它的面積等于直角梯形面積．將正方形沿軸的正半軸平行移動，設(shè)它與直角梯形的重疊部分面積為．

（1）分析與計(jì)算：

求正方形的邊長；

（2）操作與求解：

①正方形平行移動過程中，通過操作、觀察，試判斷（＞0）的變化情況是       ；

A．逐漸增大    B．逐漸減少    C．先增大后減少   D．先減少后增大

②當(dāng)正方形頂點(diǎn)移動到點(diǎn)時(shí)，求的值；

（3）探究與歸納：

設(shè)正方形的頂點(diǎn)向右移動的距離為，求重疊部分面積與的函數(shù)關(guān)系式．

試題詳情

2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座六

閱讀理解問題

【知識縱橫】

   閱讀理解的整體模式是：閱讀―理解―應(yīng)用。重點(diǎn)是閱讀，難點(diǎn)是理解，關(guān)鍵是應(yīng)用，通過閱讀，對所提供的文字、符號、圖形等進(jìn)行分析和綜合，在理解的基礎(chǔ)上制定解題策略。

【典型例題】

    【例1】（聊城市）一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為，兩車之間的距離為，圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系．

根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：

信息讀取

（1）甲、乙兩地之間的距離為         km；

（2）請解釋圖中點(diǎn)的實(shí)際意義；

圖象理解

（3）求慢車和快車的速度；

（4）求線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

問題解決

（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同．在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇．求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時(shí)？

【思路點(diǎn)撥】理解圖象的實(shí)際意義。

【例2】(江蘇鎮(zhèn)江)理解發(fā)現(xiàn)

閱讀以下材料：

對于三個(gè)數(shù)，用表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：

；；

解決下列問題：

（1）填空：        ；

如果，則的取值范圍為．

（2）①如果，求；

②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果，那么         （填的大小關(guān)系）”．證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

③運(yùn)用②的結(jié)論，填空：

若，則       ．

（3）在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象（不需列表描點(diǎn)）．通過觀察圖象，填空：的最大值為         ．

     【思路點(diǎn)撥】（2）②，則，．若，可得；（3）作出圖象，通過觀察圖象解答。

【例3】（廣東佛山）我們所學(xué)的幾何知識可以理解為對“構(gòu)圖”的研究：根據(jù)給定的（或構(gòu)造的）幾何圖形提出相關(guān)的概念和問題（或者根據(jù)問題構(gòu)造圖形），并加以研究.

例如：在平面上根據(jù)兩條直線的各種構(gòu)圖，可以提出“兩條直線平行”、“兩條直線相交”的概念；若增加第三條直線，則可以提出并研究“兩條直線平行的判定和性質(zhì)”等問題（包括研究的思想和方法）.

請你用上面的思想和方法對下面關(guān)于圓的問題進(jìn)行研究：

(1) 如圖1，在圓O所在平面上，放置一條直線（和圓O分別交于點(diǎn)A、B），根據(jù)這個(gè)圖形可以提出的概念或問題有哪些（直接寫出兩個(gè)即可）？

(2) 如圖2，在圓O所在平面上，請你放置與圓O都相交且不同時(shí)經(jīng)過圓心的兩條直線和（與圓O分別交于點(diǎn)A、B，與圓O分別交于點(diǎn)C、D）.

請你根據(jù)所構(gòu)造的圖形提出一個(gè)結(jié)論，并證明之.

(3) 如圖3，其中AB是圓O的直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，弦DE⊥AB于點(diǎn)F. 請找出點(diǎn)C和點(diǎn)E重合的條件，并說明理由.

【思路點(diǎn)撥】（2）分四種情形討論；(3) 構(gòu)建關(guān)于角的方程。

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、（寧波市）閱讀解答：2008年5月1日，目前世界上最長的跨海大橋――杭州灣跨海大橋通車了．通車后，蘇南A地到寧波港的路程比原來縮短了120千米．已知運(yùn)輸車速度不變時(shí)，行駛時(shí)間將從原來的3時(shí)20分縮短到2時(shí)．

（1）求A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的路程．

（2）若貨物運(yùn)輸費(fèi)用包括運(yùn)輸成本和時(shí)間成本，已知某車貨物從A地到寧波港的運(yùn)輸成本是每千米1.8元，時(shí)間成本是每時(shí)28元，那么該車貨物從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的運(yùn)輸費(fèi)用是多少元？

（3）A地準(zhǔn)備開辟寧波方向的外運(yùn)路線，即貨物從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港，再從寧波港運(yùn)到B地．若有一批貨物（不超過10車）從A地按外運(yùn)路線運(yùn)到B地的運(yùn)費(fèi)需8320元，其中從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的每車運(yùn)輸費(fèi)用與（2）中相同，從寧波港到B地的海上運(yùn)費(fèi)對一批不超過10車的貨物計(jì)費(fèi)方式是：一車800元，當(dāng)貨物每增加1車時(shí)，每車的海上運(yùn)費(fèi)就減少20元，問這批貨物有幾車？

2、（溫州市）解方程。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和－2的距離之和為5的點(diǎn)對應(yīng)的x的值。在數(shù)軸上，1和－2的距離為3，滿足方程的x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或－2的左邊，若x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，由圖（17）可以看出x＝2；同理，若x對應(yīng)點(diǎn)在－2的左邊，可得x＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3

參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程的解為                     

（2）解不等式≥9；

（3）若≤a對任意的x都成立，求a的取值范圍.

3、(江蘇鹽城)閱讀理解：對于任意正實(shí)數(shù)，，

，，只有點(diǎn)時(shí)，等號成立．

結(jié)論：在（均為正實(shí)數(shù)）中，若為定值，則，只有當(dāng)時(shí)，有最小值．

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

若，只有當(dāng)         時(shí)，有最小值          ．

思考驗(yàn)證：如圖1，為半圓的直徑，為半圓上任意一點(diǎn)，（與點(diǎn)不重合）．過點(diǎn)作，垂足為，，．試根據(jù)圖形驗(yàn)證，并指出等號成立時(shí)的條件．

4、（07寧波市）四邊形一條對角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．如圖l，點(diǎn)P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

(1)如圖2，畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)．

(2)如圖3，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)．

(3)如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長BP交CD于點(diǎn)E，延長DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點(diǎn)P是四邊形AB CD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

(4)試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況(說出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明)．

試題詳情

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2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座五

函數(shù)、方程、不等式問題

【知識縱橫】

    函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念。也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，例求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般通過函數(shù)解析式組成的方程組來解決。又如例4復(fù)合了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并對所得的函數(shù)要結(jié)合自變量的取值范圍來考慮最值，這就需要結(jié)合圖像來解決。

【典型例題】

    【例1】（天津市）已知拋物線，

（1）若，，求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若，且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）若，且時(shí)，對應(yīng)的；時(shí)，對應(yīng)的，試判斷當(dāng)時(shí)，拋物線與軸是否有公共點(diǎn)？若有，請證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．

【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）令y=0，求方程的兩根；（2）考慮判別式；（3）由不等式及結(jié)合圖像解之。

【例2】（黃石市）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)．在線段的垂直平分線上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，將拋物線沿

其對稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點(diǎn)．試探究：拋

物線向上最多可平移多少個(gè)單位長度？向下最多可平移多少個(gè)

單位長度？

【思路點(diǎn)撥】（2）設(shè),建立關(guān)于t的方程；

（3）考慮拋物線向上平移、向下平移兩種情況。

【例3】（吉林長春）已知兩個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)與當(dāng)時(shí)，；且二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的表達(dá)式；

（3）在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，問函數(shù)的圖象與的圖象是否有交點(diǎn)？請說明理由．

【思路點(diǎn)撥】（1）＝（y 1 + y 2）―；（2）由對稱軸的方程，求出a的值；（3）考慮方程根的判別式。

【例4】（廣西南寧）隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）

（1）分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

【思路點(diǎn)撥】：（2）設(shè)獲得的利潤是萬元，則＝＋，注意x范圍內(nèi)最值求法。

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、（廣州）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn).

（1）根據(jù)圖象，分別寫出A、B的坐標(biāo)；

（2）求出兩函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)為何值時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值.

2、（江西省卷）已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數(shù)，且）．

（1）請寫出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類型的結(jié)論；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左邊），

與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左邊），觀察四點(diǎn)坐標(biāo)，請寫出一個(gè)你所得到的正確結(jié)論，并說明理由；

（3）設(shè)上述兩條拋物線相交于兩點(diǎn)，直線都垂直于軸，分別經(jīng)過兩點(diǎn)，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點(diǎn)，求線段的最大值．

3、（四川自貢）拋物線的頂點(diǎn)為M，與軸的交點(diǎn)為A、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），△ABM的三個(gè)內(nèi)角∠M、∠A、∠B所對的邊分別為m、a、b.若關(guān)

于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

（1）判斷△ABM的形狀，并說明理由.

（2）當(dāng)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－2，－1）時(shí)，求拋物線的解析式，并畫出該拋物線的大

致圖形.

（3）若平行于軸的直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，以CD為直徑的圓恰好與軸相切，

求該圓的圓心坐標(biāo).

4、（青海省卷）王亮同學(xué)善于改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，他發(fā)現(xiàn)對解題過程進(jìn)行回顧反思，效果會更好．某一天他利用30分鐘時(shí)間進(jìn)行自主學(xué)習(xí)．假設(shè)他用于解題的時(shí)間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖甲所示，用于回顧反思的時(shí)間（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖乙所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點(diǎn)），且用于回顧反思的時(shí)間不超過用于解題的時(shí)間．

（1）求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量與用于解題的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）求王亮回顧反思的學(xué)習(xí)收益量與用于回顧反思的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時(shí)間，才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？

（學(xué)習(xí)收益總量解題的學(xué)習(xí)收益量回顧反思的學(xué)習(xí)收益量）

試題詳情

試題詳情

2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座三

函數(shù)及圖像與幾何問題

【知識縱橫】

    函數(shù)（本節(jié)主要指一次函數(shù)、反比例函數(shù)）及圖像與幾何問題，是以函數(shù)為背景探求幾何性質(zhì)，這類題很重要點(diǎn)是利用函數(shù)的性質(zhì)，解決幾個(gè)主要點(diǎn)的坐標(biāo)問題，使幾何知識和函數(shù)知識有機(jī)而自然結(jié)合起來，這樣，才能突破難點(diǎn)。但在解這類題目時(shí)，要注意方程的解與坐標(biāo)關(guān)系，及坐標(biāo)值與線段長度關(guān)系。

【典型例題】

【例1】（山西太原）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與交于點(diǎn)，分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．

    【思路點(diǎn)撥】（1）注意直線方程的解與坐標(biāo)關(guān)系；

（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論，．

（3）以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

三種情形。

【例2】（浙江湖州）已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．是邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)．

（1）求證：與的面積相等；

（2）記，求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值為多少？

（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)，使得將沿對折后，點(diǎn)恰好落在上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【思路點(diǎn)撥】（1）用的代數(shù)式表示與的面積； （2）寫出兩點(diǎn)坐標(biāo)（含的代數(shù)式表示），利用三角形面積公式解之；（3）設(shè)存在這樣的點(diǎn)，將沿對折后，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．證．

【例3】（浙江嘉興）如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限且為正三角形，的外接圓交軸的正半軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線交軸于點(diǎn)．

（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求直線的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)分別是線段上的兩個(gè)動點(diǎn)，且平分四邊形的周長．

試探究：的最大面積？

【思路點(diǎn)撥】（1）作于；

（2）連結(jié)A C,證CD‖OB.（3）通過

幾何圖形建立二次函數(shù)模型解之，注意

自變量的取值范圍。

【例4】（07杭州市） 在直角梯形中，，高（如圖1）。動點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿運(yùn)動到點(diǎn)停止，點(diǎn)沿運(yùn)動到點(diǎn)停止，兩點(diǎn)運(yùn)動時(shí)的速度都是。而當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)正好到達(dá)點(diǎn)。設(shè)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過的時(shí)間為時(shí)，的面積為（如圖2）。分別以為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)在邊上從到運(yùn)動時(shí)，與的函數(shù)圖象是圖3中的線段。

（1）分別求出梯形中的長度；

（2）寫出圖3中兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）分別寫出點(diǎn)在邊上和邊上運(yùn)動時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量的取值范圍），并在圖3中補(bǔ)全整個(gè)運(yùn)動中關(guān)于的函數(shù)關(guān)系的大致圖象。

【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)動點(diǎn)出發(fā)秒后，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)且點(diǎn)正好到達(dá)點(diǎn)時(shí)，由圖3知此時(shí)△ABC面積為30. （2）結(jié)合（1）的結(jié)論寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）考慮當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)及當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)兩種的關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、(07臺州市) 如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，將邊折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．已知折疊，且．

（1）判斷與是否相似？請說明理由；

（2）求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是否存在過點(diǎn)的直線，使直線、直線與軸所圍成的三角形和直線、直線與軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由．

2、（浙江衢州）已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點(diǎn)T在線段OA上(不與線段端點(diǎn)重合)，將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上(記為點(diǎn)A′)，折痕經(jīng)過點(diǎn)T，折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；

(1)求∠OAB的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求t的取值范圍；

(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由。

3、（江蘇鹽城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形,點(diǎn)A

的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD.

（1）求直線AB的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（,0）時(shí)，求此時(shí)DP的長及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)P,使△OPD的面積等于,若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4、（四川樂山）在平面直角坐標(biāo)系中△ABC的邊AB在x軸上，且OA>OB,以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，若C的坐標(biāo)為(0,2),AB=5, A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)X_A,X_B是關(guān)于X的方程的兩根:

(1)求m，n的值;

(2)若∠ACB的平分線所在的直線交x軸于點(diǎn)D，試求直線對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式;

(3)過點(diǎn)D任作一直線分別交射線CA，CB（點(diǎn)C除外）于點(diǎn)M，N，則的值是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由.

試題詳情

試題詳情

2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座二

直角坐標(biāo)下通過幾何圖形列函數(shù)式問題

【知識縱橫】

以平面直角坐標(biāo)系為背景，通過幾何圖形運(yùn)動變化中兩個(gè)變量之間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步研究幾何圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。但在坐標(biāo)系中，每一個(gè)坐標(biāo)由一對的序?qū)崝?shù)對應(yīng)，實(shí)數(shù)的正負(fù)之分，而線段長度值均為正的，注意這一點(diǎn)，就可類似于講座一的方法解決。所列函數(shù)式有：反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)。

【典型例題】

【例1】（黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在軸，軸的正半軸上，且滿足．

（1）求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動，連結(jié)．設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【思路點(diǎn)撥】（1）注意坐標(biāo)值與線段長度關(guān)系；

（2）求得（3）分類討論。

【例2】（廣東東莞）將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點(diǎn)E，連結(jié)CD．

(1)填空：如圖1，AC=         ，BD=         ；四邊形ABCD是       梯形.

(2)請寫出圖1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如圖2，若以AB所在直線為軸，過點(diǎn)A垂直于AB的直線為軸建立如圖10

的平面直角坐標(biāo)系，保持ΔABD不動，將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點(diǎn)P，設(shè)AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值值范圍.

                圖1

【思路點(diǎn)撥】（2）有9對相似三角形. ；（3）用t的變量表示相關(guān)線段，利用面積公式計(jì)算，注意自變量的取值范圍。

【例3】（河北）如圖，直角梯形中，∥,為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），∠= 60°，于點(diǎn).動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度.設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為秒.

（1）       求的長；

（2）       若的面積為（平方單位）. 求與之間的函數(shù)關(guān)系式.并求為何值時(shí)，    的面積最大，最大值是多少？

（3）       設(shè)與交于點(diǎn).①當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，求（2）中的值.

②探究線段長度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論.

【思路點(diǎn)撥】（3）若為等腰三角形，分三種情況

討論，再進(jìn)行比較，從而求出線段長的最大值。

                                                               圖

【例4】（（甘肅蘭州）如圖1，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，，．

（1）在邊上取一點(diǎn)，將紙片沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若上有一動點(diǎn)（不與重合）自點(diǎn)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動，運(yùn)動的速度為每秒1個(gè)單位長度，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為秒（），過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．求四邊形的面積與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)取何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時(shí)刻點(diǎn)的坐標(biāo)．

【思路點(diǎn)撥】（1）折痕是四邊形的對稱軸

（2）四邊形為矩形．

（3）為等腰三角形分類討論。

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、(諸暨中學(xué))如圖，點(diǎn)A在Y軸上，點(diǎn)B在X軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線L交線段AB于點(diǎn)C，過C作OC的垂線，與直線X=1相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線L繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：

（1）當(dāng)△AOC和△BCP全等時(shí)，求出t的值。

（2）通過動手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的

大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。

（3）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,b）,試寫出b關(guān)于t的函數(shù)

關(guān)系式和變量t的取值范圍。②求出當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

2、 ( 湖北天門)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)．動

點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動了x秒．

(1)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(________________，________________)；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△AMN為等腰三角形？

(3)如圖②，連結(jié)ON得△OMN，△OMN可能為正三角形嗎？若不能，點(diǎn)M的運(yùn)動速度不變，

試改變點(diǎn)N的運(yùn)動速度，使△OMN為正三角形，并求出點(diǎn)N的運(yùn)動速度和此時(shí)x的值．

3、 (吉林省長春市) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，以為邊作矩形，為的中點(diǎn)．以，為斜邊端點(diǎn)作等腰直角三角形，點(diǎn)在第一象限，設(shè)矩形與重疊部分的面積為．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)值由小到大變化時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式．

（3）若在直線上存在點(diǎn)，

使等于，請直接寫出的取值范圍．

(4)在值的變化過程中，若為等腰三

角形，請直接寫出所有符合條件的值．

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