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2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座三

函數及圖像與幾何問題

【知識縱橫】

    函數（本節主要指一次函數、反比例函數）及圖像與幾何問題，是以函數為背景探求幾何性質，這類題很重要點是利用函數的性質，解決幾個主要點的坐標問題，使幾何知識和函數知識有機而自然結合起來，這樣，才能突破難點。但在解這類題目時，要注意方程的解與坐標關系，及坐標值與線段長度關系。

【典型例題】

【例1】（山西太原）如圖，在平面直角坐標系中，直線與交于點，分別交軸于點和點，點是直線上的一個動點．

（1）求點的坐標．

（2）當為等腰三角形時，求點的坐標．

（3）在直線上是否存在點，使得以點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．

    【思路點撥】（1）注意直線方程的解與坐標關系；

（2）當為等腰三角形時，分三種情況討論，．

（3）以點為頂點的四邊形是平行四邊形

三種情形。

【例2】（浙江湖州）已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點．

（1）求證：與的面積相等；

（2）記，求當為何值時，有最大值，最大值為多少？

（3）請探索：是否存在這樣的點，使得將沿對折后，點恰好落在上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【思路點撥】（1）用的代數式表示與的面積； （2）寫出兩點坐標（含的代數式表示），利用三角形面積公式解之；（3）設存在這樣的點，將沿對折后，點恰好落在邊上的點，過點作，垂足為．證．

【例3】（浙江嘉興）如圖，直角坐標系中，已知兩點，點在第一象限且為正三角形，的外接圓交軸的正半軸于點，過點的圓的切線交軸于點．

（1）求兩點的坐標；

（2）求直線的函數解析式；

（3）設分別是線段上的兩個動點，且平分四邊形的周長．

試探究：的最大面積？

【思路點撥】（1）作于；

（2）連結A C,證CD‖OB.（3）通過

幾何圖形建立二次函數模型解之，注意

自變量的取值范圍。

【例4】（07杭州市） 在直角梯形中，，高（如圖1）。動點同時從點出發，點沿運動到點停止，點沿運動到點停止，兩點運動時的速度都是。而當點到達點時，點正好到達點。設同時從點出發，經過的時間為時，的面積為（如圖2）。分別以為橫、縱坐標建立直角坐標系，已知點在邊上從到運動時，與的函數圖象是圖3中的線段。

（1）分別求出梯形中的長度；

（2）寫出圖3中兩點的坐標；

（3）分別寫出點在邊上和邊上運動時，與的函數關系式（注明自變量的取值范圍），并在圖3中補全整個運動中關于的函數關系的大致圖象。

【思路點撥】（1）設動點出發秒后，點到達點且點正好到達點時，由圖3知此時△ABC面積為30. （2）結合（1）的結論寫出兩點的坐標；（3）考慮當點在上時及當點在上時兩種的關于的函數關系式.

【學力訓練】

1、(07臺州市) 如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點在軸上，點在軸上，將邊折疊，使點落在邊的點處．已知折疊，且．

（1）判斷與是否相似？請說明理由；

（2）求直線與軸交點的坐標；

（3）是否存在過點的直線，使直線、直線與軸所圍成的三角形和直線、直線與軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．

2、（浙江衢州）已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，四個頂點的坐標分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點T在線段OA上(不與線段端點重合)，將紙片折疊，使點A落在射線AB上(記為點A′)，折痕經過點T，折痕TP與射線AB交于點P，設點T的橫坐標為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；

(1)求∠OAB的度數，并求當點A′在線段AB上時，S關于t的函數關系式；

(2)當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；

(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由。

3、（江蘇鹽城）如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形,點A

的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連結AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD.

（1）求直線AB的解析式；

（2）當點P運動到點（,0）時，求此時DP的長及點D的坐標；

（3）是否存在點P,使△OPD的面積等于,若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

4、（四川樂山）在平面直角坐標系中△ABC的邊AB在x軸上，且OA>OB,以AB為直徑的圓過點C，若C的坐標為(0,2),AB=5, A,B兩點的橫坐標X_A,X_B是關于X的方程的兩根:

(1)求m，n的值;

(2)若∠ACB的平分線所在的直線交x軸于點D，試求直線對應的一次函數的解析式;

(3)過點D任作一直線分別交射線CA，CB（點C除外）于點M，N，則的值是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由.