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2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座二

直角坐標下通過幾何圖形列函數式問題

【知識縱橫】

以平面直角坐標系為背景，通過幾何圖形運動變化中兩個變量之間的關系建立函數關系式，進一步研究幾何圖形的性質，體現了數形結合的思想方法。但在坐標系中，每一個坐標由一對的序實數對應，實數的正負之分，而線段長度值均為正的，注意這一點，就可類似于講座一的方法解決。所列函數式有：反比例函數、一次函數、二次函數。

【典型例題】

【例1】（黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，點，點分別在軸，軸的正半軸上，且滿足．

（1）求點，點的坐標．

（2）若點從點出發，以每秒1個單位的速度沿射線運動，連結．設的面積為，點的運動時間為秒，求與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，是否存在點，使以點為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【思路點撥】（1）注意坐標值與線段長度關系；

（2）求得（3）分類討論。

【例2】（廣東東莞）將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點E，連結CD．

(1)填空：如圖1，AC=         ，BD=         ；四邊形ABCD是       梯形.

(2)請寫出圖1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如圖2，若以AB所在直線為軸，過點A垂直于AB的直線為軸建立如圖10

的平面直角坐標系，保持ΔABD不動，將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置，FH與BD相交于點P，設AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值值范圍.

                圖1

【思路點撥】（2）有9對相似三角形. ；（3）用t的變量表示相關線段，利用面積公式計算，注意自變量的取值范圍。

【例3】（河北）如圖，直角梯形中，∥,為坐標原點，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點坐標為（2，2），∠= 60°，于點.動點從點出發，沿線段向點運動，動點從點出發，沿線段向點運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度.設點運動的時間為秒.

（1）       求的長；

（2）       若的面積為（平方單位）. 求與之間的函數關系式.并求為何值時，    的面積最大，最大值是多少？

（3）       設與交于點.①當△為等腰三角形時，求（2）中的值.

②探究線段長度的最大值是多少，直接寫出結論.

【思路點撥】（3）若為等腰三角形，分三種情況

討論，再進行比較，從而求出線段長的最大值。

                                                               圖

【例4】（（甘肅蘭州）如圖1，是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，為原點，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，，．

（1）在邊上取一點，將紙片沿翻折，使點落在邊上的點處，求兩點的坐標；

（2）如圖2，若上有一動點（不與重合）自點沿方向向點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為秒（），過點作的平行線交于點，過點作的平行線交于點．求四邊形的面積與時間之間的函數關系式；當取何值時，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當為何值時，以為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應的時刻點的坐標．

【思路點撥】（1）折痕是四邊形的對稱軸

（2）四邊形為矩形．

（3）為等腰三角形分類討論。

【學力訓練】

1、(諸暨中學)如圖，點A在Y軸上，點B在X軸上，且OA=OB=1，經過原點O的直線L交線段AB于點C，過C作OC的垂線，與直線X=1相交于點P，現將直線L繞O點旋轉，使交點C從A向B運動，但C點必須在第一象限內，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：

（1）當△AOC和△BCP全等時，求出t的值。

（2）通過動手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的

大小關系？并證明你得到的結論。

（3）①設點P的坐標為（1,b）,試寫出b關于t的函數

關系式和變量t的取值范圍。②求出當△PBC為等腰三角形時點P的坐標。

2、 ( 湖北天門)如圖①，在平面直角坐標系中，A點坐標為(3，0)，B點坐標為(0，4)．動

點M從點O出發，沿OA方向以每秒1個單位長度的速度向終點A運動；同時，動點N從點A出發沿AB方向以每秒個單位長度的速度向終點B運動．設運動了x秒．

(1)點N的坐標為(________________，________________)；(用含x的代數式表示)

(2)當x為何值時，△AMN為等腰三角形？

(3)如圖②，連結ON得△OMN，△OMN可能為正三角形嗎？若不能，點M的運動速度不變，

試改變點N的運動速度，使△OMN為正三角形，并求出點N的運動速度和此時x的值．

3、 (吉林省長春市) 如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于兩點，以為邊作矩形，為的中點．以，為斜邊端點作等腰直角三角形，點在第一象限，設矩形與重疊部分的面積為．

（1）求點的坐標．

（2）當值由小到大變化時，求與的函數關系式．

（3）若在直線上存在點，

使等于，請直接寫出的取值范圍．

(4)在值的變化過程中，若為等腰三

角形，請直接寫出所有符合條件的值．

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