長沙市一中2009年高考第一次模擬考試
文科數學
時量 150分鐘 滿分 150分
參考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件
在一次試驗中發生的概率是
，那么
次獨立重復試驗中事件恰好發生
次的概率
其中表示球的半徑
一．選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將答案填在答題卷相應位置上．
1．含有3個元素的集合既可表示為
，又可表示為
，則
的值是（ ）
A．1
B．―
D．
2．已知數列
為等差數列，
為的前
項和，
，則
的值為（ ） 
學科
A．
B．
C．
D．64 學科網
3．“
”是“直線
與圓
相切”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．若函數
，則
是 （ ）
A．最小正周期為
的偶函數 B．最小正周期為的奇函數
C．最小正周期為
的偶函數
D．最小正周期為
的奇函數
5．劉、李兩家夫婦各帶1個小孩一起到公園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩位小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數共有（ ） A．12 B．
6.平面
于點C，則動點C的軌跡是（ ）
A．一條直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線的一支學
7．設F1、F2為橢圓的兩個焦點，A為橢圓上的點，若已知
，且
，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若函數的導函數
，則函數
的單調遞減區間是( )
A．（0，2） B．（1，3） C．（―4，―2） D．（―3，―1）
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分．
9．某倉庫中有甲、乙、丙三種不同規格的電腦，它們的數量之比依次為2∶3∶5.現用分層抽樣
的方法從中抽出一個容量為的樣本，若該樣本中有甲種規格的電腦24臺，則此樣本的容量的
值為____________．
10．函數
的反函數
所經過的一個定點的坐標為_________．
11．
___________．
12. 已知矩形
中，
沿
將矩形折成一個二面角
則四面體的外接球的表面積為_____________．
13．已知點
、
是不等式組
表示的平面區內的點，
為坐標原點，則
的取值范圍是_______________．
14．一次展覽會上展出一套由寶石串聯制成的工藝品，如圖所示．若按照這種規律依次增加一定數量的寶石, 則第5件工藝品所用的寶石數為_______顆；第件工藝品所用的寶石數為__________________顆 (結果用表示)．
第1件 第2件 第3件 第4件
15．已知點是邊長為
的等邊三角形內一點，它到三邊的距離分別為
、
、
，則、、所滿足的關系式為_________________，
的最小值是___________．
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
16．（本題滿分12分） 已知
，且
，設
，的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離不小于．
（1）求ω的取值范圍；
（2）在△ABC中，
分別為角
的對邊，
，當ω最大時，
，求△ABC的面積．
17．（本題滿分12分） 現有甲、乙兩個盒子，甲盒子里盛有4個白球和4個紅球，乙盒子里盛有3個白球和若干個紅球，若從乙盒子里任取兩個球取得同色球的概率為
．
（1）求乙盒子中紅球的個數；
（2）從甲、
乙盒子里各任取兩個球進行交換，若交換后乙盒子里的白球數和紅球數相等，就說這次交換是成功的，試求進行一次這樣的交換成功的概率是多少？
18．（本題滿分12分） 如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側面
是等腰三角形且垂直于底面，
，
，
、
分別是
、
的中點．
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小．
19．（本題滿分13分） 設橢圓
：
的離心率為，點
，
，原點到直線的距離為
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點
為
，點在橢圓上（與、均不重合），點在直線
上，若直線
的方程為
，且
，試求直線
的方程．
20．（本題滿分13分） 設數列
的前項和為，且
，其中
為常數且
．
（１）證明：數列是等比數列；
（２）設數列的公比
，數列
滿足
，
（
求數列的通項公式；
（３）設
，
，數列
的前項和為
，求證：當
時，
．
21．（本題滿分13分） 已知函數
(
且都為常數)的導函數
，且f(1)=7，設
．
(1)當a<2時，求
的極小值；
(2)若對任意
都有
成立，求a的取值范圍；
(3)在(2)的條件下比較
的大小．
長沙市一中高三第一次模擬考試文科數學答案
一．選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將答案填在答題卷相應位置上．
1．含有3個元素的集合既可表示為，又可表示為，則的值是（ B ）
A．1
B．―
D．
2．已知數列為等差數列，為的前項和，，則的值為（ B ） 學科
A．
B．
C．
D．64 學科網
3．“”是“直線與圓相切”的（ A
）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．若函數，則是 （ D
）
A．最小正周期為的偶函數 B．最小正周期為的奇函數
C．最小正周期為的偶函數
D．最小正周期為的奇函數
5．劉、李兩家夫婦各帶1個小孩一起到公園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩位小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數共有（ B ） A．12 B．
6.平面于點C，則動點C的軌跡是（ A ）
A．一條直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線的一支學
7．設F1、F2為橢圓的兩個焦點，A為橢圓上的點，若已知，且，則橢圓的離心率為（ D ）
A． B． C． D．
8．若函數的導函數，則函數的單調遞減區間是( A )
A．（0，2） B．（1，3） C．（―4，―2） D．（―3，―1）
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分．
9．某倉庫中有甲、乙、丙三種不同規格的電腦，它們的數量之比依次為2∶3∶5.現用分層抽樣
的方法從中抽出一個容量為的樣本，若該樣本中有甲種規格的電腦24臺，則此樣本的容量的
值為
．
10．函數的反函數所經過的一個定點的坐標為
．
11． ．
12. 已知矩形中，沿將矩形折成一個二面角則四面體的外接球的表面積為
．
13．已知點、是不等式組表示的平面區內的點，為坐標原點，則的取值范圍是
．
14．一次展覽會上展出一套由寶石串聯制成的工藝品，如圖所示．若按照這種規律依次增加一定數量的寶石, 則第5件工藝品所用的寶石數為
顆；第件工藝品所用的寶石數為
顆 (結果用表示)．
第1件 第2件 第3件 第4件
15．已知點是邊長為的等邊三角形內一點，它到三邊的距離分別為、、，則、、所滿足的關系式為
，的最小值是
．
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
16．（本題滿分12分） 已知，且，設，的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離不小于．
（1）求ω的取值范圍；
（2）在△ABC中，分別為角的對邊，，當ω最大時，，求△ABC的面積．
解：（1）
=
…………………3分
依題意：
，∴
．…………………5分
（2）由（1）知
，∴即
，
又
，∴
． …………………8分
由余弦定理得
，結合
，得
．…………10分
∴
． …………………12分
17．（本題滿分12分） 現有甲、乙兩個盒子，甲盒子里盛有4個白球和4個紅球，乙盒子里盛有3個白球和若干個紅球，若從乙盒子里任取兩個球取得同色球的概率為．
（1）求乙盒子中紅球的個數；
（2）從甲、乙盒子里各任取兩個球進行交換，若交換后乙盒子里的白球數和紅球數相等，就說這次交換是成功的，試求進行一次這樣的交換成功的概率是多少？
解：（1）設乙盒中有個紅球，則從乙盒子里任取兩個球共有
種取法，其中取得同色球的取法有
，故
． 解得
或
（舍去），即．…………………6分
（2）甲、乙兩盒中各任取兩球交換后乙盒中白球與紅球相等，則：①從甲盒中取出兩個白球與乙盒中取出一個白球一個紅球進行交換，②從甲盒中取出一個紅球和一個白球與乙盒中取出兩個紅球進行交換．
概率為
．
答：（1）乙盒中有紅球5個，（2）進行一次成功交換的概率為
．…………………12分
18．（本題滿分12分） 如圖，四棱錐的底面是正方形，側面是等腰三角形且垂直于底面，，，、分別是、的中點．
（1）求證：；
（2）求二面角的大小．
解：（1）取
中點
，連結
、
，則
，
又
，
∴
，四邊形
是平行四邊形，
∴
，又
，
，
∴ ………………………………4分
（2）連結
∵
， ∴
，
又平面
平面，∴
．
而
， ∴
．
作
于
，則
，且
，為
的中點．
作
于
，連結
，則
，
于是
為二面角的平面角． …………………………8分
∵，，∴
，
．
在正方形中，作
于
，則
，
∴
，∴
．
故二面角的大小為
． …………………………12分
19．（本題滿分13分） 設橢圓：的離心率為，點，，原點到直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點為，點在橢圓上（與、均不重合），點在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程．
解：（1）由
得
…………2分
、由點，知直線的方程為
，
于是可得直線的方程為
…………4分
由題意
，得
，
，
，
所以橢圓的方程為
……………6分
（2）由（1）知
，
，
因為直線經過點
，所以
，得
，
得直線的方程為
． ………………8分
設的坐標為
，則
，……10分
又
，∴
，因為，所以
，于是
又點的坐標為，因此直線的方程為
………………13分
（本題也可以求出點的坐標，再求
）
20．（本題滿分13分） 設數列的前項和為，且，其中為常數且．
（１）證明：數列是等比數列；
（２）設數列的公比，數列滿足，（
求數列的通項公式；
（３）設，，數列的前項和為，求證：當時，．
解：（1）由
，
相減得：
，∴
，
∴數列是等比數列．
……………………4 分
（2）
，∴
，
∴
是首項為
，公差為1的等差數列；∴
，
∴
． ……………………8分
（3）時，
，∴
，
∴
，
①
②
①
②得
，
,
…………………………11分
又因為
,
單調遞增, 
故當時, . …………………………13分
21．（本題滿分13分） 已知函數(且都為常數)的導函數，且f(1)=7，設．
(1)當a<2時，求的極小值；
(2)若對任意都有成立，求a的取值范圍；
(3)在(2)的條件下比較的大小．
解：(1)
，
∴2b=
，
∴
，
又f(1)=7 ， ∴d=4 ∴
． ……………………………………2分
∵
，∴
．
令
，得
，
∵
，
∴
．
故由
，由
，
∴F(x)在
上單調遞增，在
上單調遞減，
故F(x)的極小值為F(0)=4 ………………………………………………5分
(2)F(x)≥0在x∈[0，+∞)時恒成立，即
，
①當
即時，由(1)知F(x)min=F(0)=4>0符合題意．………………………7分
②若
，即
時，由(1)知
，
∴當
時，F(x)min=
即
，∴
，∴
，
綜上所述 a≤5． ……………………………………………10分
(3)
∵a≤5 ∴
， 6－a≥1，故
，
∴
(等號在a=5時成立)． …………………………………13分
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com