浙江省2009年高三第二次五校聯考
數學(理科)試題卷
參考公式 如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件、相互獨立，那么
．
如果事件在一次試驗中發生的概率是
，那么在
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率
．
錐柱的體積公式
柱體的體積公式
其中
表示棱柱的底面積, 
表示棱柱的高
第Ⅰ卷（共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設全集
且
,
,則
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．若復數
是純虛數（
是虛數單位，
是實數），則
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）2
3. 橢圓
的焦點在
軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則
的值為（ ）
（A）
（B） （C） 2 （D）4
4．若一個底面為正三角形、側棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個棱柱的體積為（ ）
（A） 
（B） 
（C） 
（D）6
5．平面
平面
的一個充分條件是（ ）
（A） 存在一條直線， 
,
（B） 存在一條直線， 
,
（C） 存在兩條平行直線
, 
,,
（D） 存在兩條異面直線，
，,
6．如圖，該程序運行后輸出的結果為（ ）
（A）36 （B）56 （C）55 （D）45
7．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為
，得2分的概率為
，不得分的概率為
（、、
），已知他投籃一次得分的數學期望為2（不計其它得分情況），則
的最大值為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 在空間四邊形ABCD中，
則
=（ ）
（A）
（B） 
（C） 
（D） 
9.已知可導函數
，則當
時，
大小關系為（ ）
（A）
（B） 
（C）
（D） 
10.用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，
依次類推，每一層都用去了前一層剩下的一半多一塊，如果到第九層恰好磚用完，那么共用去磚的塊數為
（ ）
（A）1018 （B）1020 （C）1022 （D）1024
第Ⅱ 卷（共100分）
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.
11．某校對全校男女學生共1600名進行健康調查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數應是 ▲ 人．
12． 如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相連，連線上標注的數字表示某信息經過該段網線所需的時間(單位：毫秒).
信息由結點A傳遞到結點B所需的最短時間為 ▲ 毫秒.
13．設
是不等式組
表示的平面區域,則中的點
到直線
距離的最大值是 ▲ .
14．已知
的展開式中的常數項為
，
是以為周期的偶函數，且當
時，
，若在區間
內，函數
有4個零點，則實數
的取值范圍是 ▲ .
15．在等差數列
中，公差
、
是方程
的兩個根，
是數列的前
的和，那么滿足條件
的最大自然數
▲ .
16．如圖給出16個點，其左和右相鄰兩點、上下相鄰兩點的距離都為1.若以這些點作為三角形的頂點，那么一共可得到 ▲ 個直角三角形.
17.設三角形ABC的BC邊上的高AD=BC，
分別表示角A、B、C對應的三邊，則
的取值范圍是 ▲ ．
三、解答題
18. （本小題滿分14分）已知向量
.
（Ⅰ）若
求
;
（Ⅱ）設
的三邊
滿足
，且邊所對應的角為
，若關于的方程
有且僅有一個實數根，求的值.
19. （本小題滿分14分）袋中有6張卡片，編號分別是1，2，3，4，5，6.現在從袋中任意抽取出3張卡片，并記號碼最大的為
.
（Ⅰ）求的分布列和期望;
（Ⅱ）若3張卡片是有放回的抽取，則最大號碼為4的概率是多少？
20. （本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA
底面ABCD,
DAB為直角，AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點.
（Ⅰ）試證：CD平面BEF;
（Ⅱ）設PA＝k?AB,且二面角E-BD-C的平面角大于
,求k的取值范圍.
21. （本小題滿分15分）過拋物線
的對稱軸上的定點
，作直線
與拋物線相交于
兩點.
（Ⅰ）試證明兩點的縱坐標之積為定值；
（Ⅱ）若點
是定直線
上的任意一點，分別記直線
的斜率為
，試探求之間的關系，并給出證明.
22. （本小題滿分15分）設函數
，其圖象在點
處的切線的斜率分別為
．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若函數
的遞增區間為
，求
的取值范圍；
（Ⅲ）若當
時（是與
無關的常數），恒有
，試求的最小值．
2008學年浙江省五校第二次聯考
數學（理科）答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
D
D
A
D
B
C
二．填空題
11．760
12．4 .8
13．
14．
15．4015
16．184
17．
三．解答題
18．（Ⅰ）
……………..4分
……………..7分
（Ⅱ）
,
……………..11分
結合圖象可得:
……………..14分
19. （Ⅰ ）
3
4
5
6
P
0.05
0.15
0.3
0.5
………………………………………………………………………………………….6分
…………………………………………………….9分
（Ⅱ）
…………………………………………….14分
20．(Ⅰ) 
解法一：
（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且DAD為直角，故ABFD是矩形，從而CDBF.
………..4分
又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分別PC、CD的中點，故EF∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF. ………..7分
（Ⅱ）連結AC交BF于G.易知G為AC的中點.連接EG,則在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，過C作GHBD,垂足為H,連接EH.由三垂線定理知EHBD.從而EHG為二面角E-BD-C的平面角. ………..10分
設AB=a,則在△PAC中，有
BG=
PA=ka.
以下計算GH，考察底面的平面圖（如答(19)圖２）.連結GD.
因S△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=
.
在△ABD中，因為AB＝a,AD=2A,得BD=
a
而GB=FB=AD-a.DF-AB,從而得GH== 
＝
因此tanEHG=
=
………..12分
由k＞0知
是銳角，故要使＞，必須
＞tan=
解之得，k的取值范圍為k＞
………..14分
解法二：
（Ⅰ）如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為：軸建立空間直角坐標系，設AB=a,則易知點A,B,C,D,F的坐標分別為
A(0,0,0),B(a,0,0),C(
F(a,
從而
=(2a,0,0), 
=(0,2a,0),
?=0,故 .
設PA=b,則P(0,0,b),而E為PC中點.故 第（20）
?
=0,故.
由此得CD面BEF.
（Ⅱ）設E在xOy平面上的投影為G，過G作GHBD垂足為H,由三垂線定理知EHBD.
從而EHG為二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k?AB得P(0,0,ka),E
,G(a,a,0).設H(x,y,0)，則
=(x-a,y-a,0),
=(-a,2a,0),
由?=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a ①
又因
=(x,a,y,0),且與的方向相同，故
＝
，即2x+y=2a ②
由①②解得x=
a,y=
a,從而＝
，｜｜＝
a.
tanEHG=
=
=.由k＞0知，EHC是銳角，由EHC＞
得tanEHG＞tan即
＞
故k的取值范圍為k＞
.
21．（1）證明:.設
有
，下證之：
設直線的方程為:
與
聯立得
，消去得
……4分
由韋達定理得
,……6分
（2）解：三條直線的斜率成等差數列，……9分
下證之：
設點
，則直線
的斜率為
;
直線
的斜率為
……13分
又
直線
的斜率為
……14分
，即直線的斜率成等差數列. ……15分
22.
解答：（1）
，由題意及導數的幾何意義得
，
（1）
，
（2） ……3分
又
，可得
，即
，故
……5分
由（1）得
，代入，再由
，得
，
（3） ……6分
將代入（2）得
，即方程
有實根．
故其判別式
得
，或
，
（4） ……7分
由（3），（4）得；……8分
（2）由的判別式
，
知方程
有兩個不等實根，設為
，
又由
知，
為方程（
）的一個實根，則有根與系數的關系得
，
…10分
當
或
時，
，當
時，
，
故函數的遞增區間為
，由題設知
，
因此
，由（Ⅰ）知得
的取值范圍為
；…12分
（3）由，即
，即
，
因為，則
，整理得
，
設
，可以看作是關于
的一次函數，…13分
由題意
對于恒成立，
故
即
得
或
，
由題意，
，
故
，因此
的最小值為
． …15分
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