2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷文科數學
（四）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只
有一項是符合題目要求的．
1．設全集
，則
是
A．
B．
或
C．
D．
且
2．若
，且
，則
是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．已知
，則下列不等式成立的是
A．
B．
C．
D．
4．設
、
是不同的直線，
、
、
是不同的平面，有以下四個命題：
① 若
，則
② 若
，則
③ 若
，則
④ 若
，則
其中真命題的序號是
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
5．“
”是“直線
和直線
互相垂直”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．設等差數列
的前項和為
，若
，則
A．63 B．
7．從
、
、
、
、
名短跑運動員中任選4名，排在標號分別為1、2、3、4的跑
道上，則不同的排法有
A．24種 B．48種 C．120種 D．124種
8．
的展開式中
的系數是
A．
B．
C．3 D．4
9．設雙曲線
的離心率為
，且它的一條準線為
，
則此雙曲線的方程為
A．
B．
C．
D．
10．已知
是
上的增函數，那么的取值范圍是
A．
B．
C．
D．（1，3）
11．設
為曲線
上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為
，則點縱坐標的取值范圍為
A．
B．
C．
D．
12．已知函數
滿足
，且當
時，
，則
與
的圖象的交點個數為
A．3 B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題。每小題5分．共16分．把答案填在題中橫線上．
13．已知
，若平面上的三點
共線，則
．
14．在正方體
中，
與平面
所成的角為
．
15．已知實數、
滿足條件
則函數
的最大值是
．
16．給出下列3個命題：
① 命題“存在
”的否定是“任意
”；
② “
”是“直線
與直線
相互垂直”的必要不充分條件；
③ 關于的不等式
的解集為
，則
．
其中為真命題的序號是
．
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知函數
的最小正周期為
．
（1）求
的單調遞增區間；
（2）在
中，角，，的對邊長分別是，
，
滿足
，求函數
的取值范圍．
18．（本小題滿分12分）
在舉辦的奧運知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲答對這道題目的概率是
，甲、丙兩人都答錯的概率是
，乙、丙兩人都答對的概率是
．
（1）求乙、丙兩人各自答對這道題目的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目的概率．
19．（本小題滿分12分）
已知二次函數
，不等式
的解集有且只有一個元素，設數列的前項和
（1）求數列的通項公式；
（2）設
，求數列
的前項和
．
20．（本小題滿分12分）
已知四棱錐
的底面
是正方形，且
底面，其中
．
（1）求二面角
的大小；
（2）在線段
上是否存在一點
，使
平面
？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分12分）
已知圓
．
（1）直線
過點（1，2），且與圓交于、兩點，若
，求直線的方程；
（2）過圓上一動點
作平行于軸的直線，設與軸的交點為
，若向量
，求動點
的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．
22．（本小題滿分12分）
設函數
．
（1）當
時，取得極值，求的值；
（2）若在
內為增函數，求的取值范圍．
一、
1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C
11．B 12．B
【解析】
11．提示：設曲線
在點
處切線傾斜角為
，則
，由
，得
，故
，所以
，故選B．
12．提示：整形結合．
二、
13．
14．
15．3 16．①③
三、
17．解：（1）
的單調遞增區間為
（2）
18．（1）設乙、丙各自回答對的概率分別是
、
，根據題意得：
，解得
（2）
．
19．解：（1）
的解集有且只有一個元素
或
又由
得
當
時，
；
當
時，
（2）
①
②
由式①-或②得
．
20．解法一：
（1）設
交
于點
平面
．
作
于點
，連接
，則由三垂線定理知：
是二面角
的平面角．
由已知得
，
，
∴二面角的大小的60°．
（2）當
是
中點時，有
平面
．
證明：取
的中點
，連接
、
，則
，
，故平面即平面
．
又
平面，
平面．
解法二：由已知條件，以
為原點，以
、
、
為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系，則
（1）
，
，設平面的一個法向量為
，
則
取
設平面
的一個法向量為
，則
取
．
二面角的大小為60°．
（2）令
，則
，
，
由已知，
，要使平面，只需
，即
則有
，得
當是中點時，有平面．
21．解：（1）① 當直線
垂直于軸時，則此時直線方程為
，
與圓的兩個交點坐標為
和
，其距離為
，滿足題意．
② 若直線不垂直于軸，設其方程
，即
設圓心到此直線的距離為
，則
，得
，
此時所求直線方程為
綜上所述，所求直線為或．
（2）設點
的坐標為
點坐標為
，則
點坐標是
即
又
由已知，直線
軸，所以，
，
點的軌跡議程是
，
軌跡是焦點坐標為
，長軸為8的橢圓，并去掉
兩點．
22．解：
，
（1）由題意：
解得
．
（2）方程
的叛別式
，
① 當
，即
時，
，
在
內恒成立，此時
在為增函數；
② 當
，即
或
時，
要使在內為增函數，只需在內有即可，
設
，
由
得，所以．
由①②可知，若在內為增函數，則
的取值范圍是
．
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