題目列表(包括答案和解析)
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
⊥底面
，且
，點
、
分別在側棱
、
上，且
（Ⅰ）求證：
⊥平面
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
的所成銳二面角的大小
已知四棱錐
的底面為正方形且側棱長與底面邊長相等，
是
的中點，則
所成的角的余弦值為______
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
，且
，點
分別在側棱
、
上，且
。
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
所成二面角的余弦值．
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
⊥底面
，且
，點
、
分別為側棱
、
的中點
（1）求證：
∥平面
；
（2）求證：
⊥平面
.
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
，且
，點
分別在側棱
、
上，且
。
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
所成二面角的余弦值．
一、
1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C
11．B 12．B
【解析】
11．提示：設曲線
在點
處切線傾斜角為
，則
，由
，得
，故
，所以
，故選B．
12．提示：整形結合．
二、
13．
14．
15．3 16．①③
三、
17．解：（1）
的單調遞增區間為
（2）
18．（1）設乙、丙各自回答對的概率分別是
、
，根據題意得：
，解得
（2）
．
19．解：（1）
的解集有且只有一個元素
或
又由
得
當
時，
；
當
時，
（2）
①
②
由式①-或②得
．
20．解法一：
（1）設
交
于點
平面
．
作
于點
，連接
，則由三垂線定理知：
是二面角
的平面角．
由已知得
，
，
∴二面角的大小的60°．
（2）當
是
中點時，有
平面
．
證明：取
的中點
，連接
、
，則
，
，故平面即平面
．
又
平面，
平面．
解法二：由已知條件，以
為原點，以
、
、
為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系，則
（1）
，
，設平面的一個法向量為
，
則
取
設平面
的一個法向量為
，則
取
．
二面角的大小為60°．
（2）令
，則
，
，
由已知，
，要使平面，只需
，即
則有
，得
當是中點時，有平面．
21．解：（1）① 當直線
垂直于軸時，則此時直線方程為
，
與圓的兩個交點坐標為
和
，其距離為
，滿足題意．
② 若直線不垂直于軸，設其方程
，即
設圓心到此直線的距離為
，則
，得
，
此時所求直線方程為
綜上所述，所求直線為或．
（2）設點
的坐標為
點坐標為
，則
點坐標是
即
又
由已知，直線
軸，所以，
，
點的軌跡議程是
，
軌跡是焦點坐標為
，長軸為8的橢圓，并去掉
兩點．
22．解：
，
（1）由題意：
解得
．
（2）方程
的叛別式
，
① 當
，即
時，
，
在
內恒成立，此時
在為增函數；
② 當
，即
或
時，
要使在內為增函數，只需在內有即可，
設
，
由
得，所以．
由①②可知，若在內為增函數，則
的取值范圍是
．
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