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在環保知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關水體凈化知識的問題，甲答對的概率是，甲、丙兩人都打錯的概率是，乙、丙兩人都答對的概率是．
求：（1）乙、丙兩人各自答對這道題目的概率．
（2）（理做）答對這道題目的人數的隨機變量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目的概率．

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一、

1．C       2．C       3．C       4．D      5．C       6．B       7．C       8．A      9．D      10．C

11．B     12．B

【解析】

11．提示：設曲線在點處切線傾斜角為，則，由，得，故，所以，故選B．

12．提示：整形結合．

二、

13．          14．          15．3            16．①③

三、

17．解：（1）

              的單調遞增區間為

       （2）

18．（1）設乙、丙各自回答對的概率分別是、，根據題意得：

              ，解得

              （2）．

19．解：（1）的解集有且只有一個元素

              或

              又由得

              當時，；

              當時，

       （2）                   ①

                    ②

        由式①-或②得

              ．

20．解法一：

（1）設交于點

              平面．

作于點，連接，則由三垂線定理知：是二面角的平面角．

由已知得，

，

∴二面角的大小的60°．

       （2）當是中點時，有平面．

              證明：取的中點，連接、，則，

              ，故平面即平面．

              又平面，

              平面．

解法二：由已知條件，以為原點，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則

       （1），

              ，設平面的一個法向量為，

則取

設平面的一個法向量為，則取．

二面角的大小為60°．

（2）令，則，

       ，

       由已知，，要使平面，只需，即

則有，得當是中點時，有平面．

21．解：（1）① 當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，

              與圓的兩個交點坐標為和，其距離為，滿足題意．

           ② 若直線不垂直于軸，設其方程，即

              設圓心到此直線的距離為，則，得

              ，

              此時所求直線方程為

              綜上所述，所求直線為或．

       （2）設點的坐標為點坐標為，則點坐標是

              即

              又由已知，直線軸，所以，，

              點的軌跡議程是，

軌跡是焦點坐標為，長軸為8的橢圓，并去掉兩點．

22．解：，

       （1）由題意：      解得．

       （2）方程的叛別式，

① 當，即時，，在內恒成立，此時在為增函數；

② 當，即或時，

要使在內為增函數，只需在內有即可，

設，

由得，所以．

由①②可知，若在內為增函數，則的取值范圍是．

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