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江蘇省泰興市第四高級中學(xué)高三第二學(xué)期第三次月考

數(shù)學(xué)試卷 2009.03.05

A．必做題部分

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．已知全集，集合，，

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那么集合__________。

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2..雙曲線的一條準(zhǔn)線恰好與圓x²+y²+2x=0相切，則雙曲線的離心率為_________

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3.某中學(xué)有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生300人，高三學(xué)生300人，現(xiàn)通過分層抽樣抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，已知每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為0.2，則n=___________.

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4. 按如右圖所示的流程圖運(yùn)算,若輸入，則輸出 _________

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5．已知變量滿足約束條件則的取值范圍是____________

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6．已知的頂點(diǎn)A為（3，－1），AB邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，則BC邊所在直線的方程為：___________________．　

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7．若向量，且，則等于_______

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8．方程的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

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9．已知集合，，（可以等于)，從集合中任取一元素，則該元素的模為的概率為______________。

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10.如圖，在△ABC中，己知AB＝2，BC＝3，于H，M為AH的中點(diǎn)，若則 .

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11．如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列的前12項(xiàng)，如下表所示：

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學(xué)科網(wǎng)

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按如此規(guī)律下去，則__________

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12．已知二次函數(shù)的值域?yàn)?sub>，則的最小值為__________

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13．對于函數(shù)（），若存在閉區(qū)間

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，使得對任意，恒有=（為實(shí)常數(shù)），則實(shí)數(shù)的值為．

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14．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)之和.若不等式對任何等差數(shù)列及任何正整數(shù)恒成立，則的最大值為：__________ 學(xué)科網(wǎng)

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二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn),AB=AD,記∠CAD=,∠ABC=.

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(Ⅰ)．證明 ;

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（Ⅱ）．若AC=DC,求的值.

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16．如圖，在三棱錐P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上的一點(diǎn)，且PF:FC=3:1．

（Ⅰ）求證：PA⊥BC；

（Ⅱ）試在PC上確定一點(diǎn)G，使平面ABG∥平面DEF；

（Ⅲ）求三棱錐P-ABC的體積．

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17．已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的掌握程度與學(xué)習(xí)時(shí)間（單位時(shí)間）之間的關(guān)系為

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，這里我們稱這一函數(shù)關(guān)系為“學(xué)習(xí)曲線”．已知這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)有如下兩組數(shù)據(jù)：．

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（1）試確定該項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)的“學(xué)習(xí)曲線”的關(guān)系式；

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（2）若定義在區(qū)間上的平均學(xué)習(xí)效率為，問這項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)從哪一刻開始的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)平均學(xué)習(xí)效率最高．

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18．（本小題滿分14分）已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn). （1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證直線AB的斜率為定值；

（3）求△PAB面積的最大值。

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19．已知點(diǎn)列順次為直線上的點(diǎn)，點(diǎn)列順次為軸上的點(diǎn)，其中，對任意的，點(diǎn)、、構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形。

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（1）證明:數(shù)列是等差數(shù)列；

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（2）求證:對任意的，是常數(shù)，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（3）若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出實(shí)數(shù)

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20、已知函數(shù)f(x)=2x+alnx.

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(1) 若f(x)在[1，+)上為增函數(shù)，求a的范圍

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(2) 若a<0，對于任意兩個(gè)正數(shù)x₁、x₂總有：

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(3) 若存在x[1,e]，使不等式f(x)(a+3)x―x²成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

B．附加題部分

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21．（選做題）從A，B，C，D四個(gè)中選做2個(gè)，每題10分，共20分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A．選修4－1（幾何證明選講）

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如圖，ABCD是邊長為的正方體，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O交于點(diǎn)P，延長CP交AB于M.求證：（1）M是AB的中點(diǎn)；（2）求線段BP的長。

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B．選修4－2（矩陣與變換）已知二階矩陣M有特征值及對應(yīng)的一個(gè)特征向量，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成, 求矩陣M.

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C．選修4－4（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）求直線（）被曲線所截的弦長.

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D．選修4－5（不等式選講）已知為正數(shù)，且滿足，

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求證：．

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22．（必做題）甲從裝有編號為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一張，乙從裝有編號為2，4的卡片的箱子中任意取一張，用，分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字.

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（1）求概率）；

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（2）記，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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23．（必做題）已知正項(xiàng)數(shù)列中，對于一切的均有成立。

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（1）證明：數(shù)列中的任意一項(xiàng)都小于1；

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（2）探究與的大小，并證明你的結(jié)論。

泰興市第四高級中學(xué)高三第二學(xué)期第三次月考

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1．； 2. 2. 3.200 4. 3 5． 6. 7．

8．6 9．； 10. 11.1005 12.4 13. 1 14．

15．解： (1)．如圖，，

　　即．

（2）．在中，由正弦定理得

　　　　由(1)得，

　　　　即．

16．解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

同理可得

∵，∴

∵平面ABC，∴PA⊥BC.

(Ⅱ) 如圖所示取PC的中點(diǎn)G，

連結(jié)AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點(diǎn)

又D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分

∴面ABG∥面DEF

即PC上的中點(diǎn)G為所求的點(diǎn) …………… 9分

(Ⅲ)

17．解：（1）由題意得，

整理得，解得，

所以“學(xué)習(xí)曲線”的關(guān)系式為．

（2）設(shè)從第個(gè)單位時(shí)間起的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的平均學(xué)習(xí)效率為，則

令，則，

顯然當(dāng)，即時(shí)，最大，

將代入，得，

所以，在從第3個(gè)單位時(shí)間起的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的平均學(xué)習(xí)效率最高．

18. 解：（1）由題可得，，設(shè)

則，，……………………2分

∴，∵點(diǎn)在曲線上，則，∴，從而，得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. ……………………5分

（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，………6分

則BP的直線方程為：.由得，設(shè)，則，

同理可得，則，. ………………9分

所以：AB的斜率為定值. ………………10分

（3）設(shè)AB的直線方程：.

由，得，

由，得

P到AB的距離為，………………12分

則

。

當(dāng)且僅當(dāng)取等號

∴三角形PAB面積的最大值為。………………14分

19.解: (1)依題意有,于是.

所以數(shù)列是等差數(shù)列. 　　　　　　　　.4分

(2)由題意得,即 , () ①

所以又有. ②

由②①得：,　所以是常數(shù)．　　　　　　　

由都是等差數(shù)列.

，那么得 ,

. (

故　　 1０分

(3) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,所以

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以　　　　

作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：. 　　　　　　　　　　　

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有,即 ①

，當(dāng)時(shí)，. 不合題意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有，,同理可求得 .

；；當(dāng)時(shí)，不合題意．

綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為

；；　；16分

20⑴當(dāng)x≥1時(shí)，只需2+a≥0即a≥-2

⑵作差變形可得：

= (*)

x₁>0，x₂>o 從而

∴l(xiāng)n,又a<0 ∴（*）式≥0

即(當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)取“=”號)

（3）可化為：

x ∴l(xiāng)nx≤1≤x,因等號不能同時(shí)取到，∴l(xiāng)nx<x,lnx―x<0

∴a≥

令, x ,

x,∴l(xiāng)nx―1―<0，且1―x≤0

從而，,所以g(x)在x上遞增，從而=g(1)= ―

由題設(shè)a≥―

即存在x，不等式f(x)≤(a+3)―能成立且a

21.A解（1）利用△CDO≌△BCM，可證MB=OC=AB

（2）由△PMB∽△BMC，得,∴BP=

B、設(shè)M=，則=8=，故

=，故

聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

C.求直線（）被曲線所截的弦長，將方程，分別化為普通方程：

，………(5分)

D．解：由柯西不等式可得

22、解析：（1）記“”為事件A，（）的取值共有10種情況，…………1分

滿足的（）的取值有以下4種情況：

（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），

所以；

（2）隨機(jī)變量的取值為2，3，4，5，的分布列是

…………10分

所以的期望為

23、解：（1）由得

∵在數(shù)列中，∴，∴

故數(shù)列中的任意一項(xiàng)都小于1

（2）由（1）知，那么，

由此猜想：（n≥2）.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立；

②當(dāng)n=k時(shí)（k≥2,k∈N）時(shí)，假設(shè)猜想正確，即，

那么，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確

綜上所述，對于一切，都有。

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