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（2012•浙江模擬）在平面四邊形ABCD中，△ABC為正三角形，△ADC為等腰直角三角形，AD=DC=2，將△ABC沿AC折起，使點B至點P，且PD=2

3

，M為PA的中點，N在線段PD上．

（I）若PA⊥平面CMN，求證：AD∥平面CMN；
（II）求直線PD與平面ACD所成角的余弦值．

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（2013•南通一模）某公司為一家制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD（AB＞AD）為長方形薄板，沿AC折疊后，AB'交DC于點P．當△ADP的面積最大時最節能，凹多邊形ACB'PD的面積最大時制冷效果最好．
（1）設AB=x米，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（2）若要求最節能，應怎樣設計薄板的長和寬？
（3）若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？

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已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中點．
（1）求AC與PB所成的角的余弦值；
（2）求二面角P-AC-M的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在點N，使DN∥平面AMC，若存在，確定點N位置；若不存在，說明理由．

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已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且，M是PB的中點．
（1）求AC與PB所成的角的余弦值；
（2）求二面角P-AC-M的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在點N，使DN∥平面AMC，若存在，確定點N位置；若不存在，說明理由．

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已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且，M是PB的中點．
（1）求AC與PB所成的角的余弦值；
（2）求二面角P-AC-M的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在點N，使DN∥平面AMC，若存在，確定點N位置；若不存在，說明理由．

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1．；   2.   2.   3.200   4. 3      5．  6.     7．

8．6  9．；  10.    11.1005    12.4    13.  1    14．

15．解： (1)．如圖，，

    　　即．

   （2）．在中，由正弦定理得

　　　　由(1)得，

　　　　即．

16．解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

        ∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

       同理可得

       ∵，∴

      ∵平面ABC，∴PA⊥BC. 

(Ⅱ)  如圖所示取PC的中點G，

連結AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點

      又D、E分別為BC、AC的中點，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分 

      ∴面ABG∥面DEF           

即PC上的中點G為所求的點                  …………… 9分

(Ⅲ)

17．解：（1）由題意得，  

整理得，解得， 

所以“學習曲線”的關系式為． 

（2）設從第個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率為，則

令，則，  

顯然當，即時，最大， 

將代入，得，

所以，在從第3個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率最高．

18. 解：（1）由題可得，，設

則，，……………………2分

∴，∵點在曲線上，則，∴，從而，得.則點P的坐標為. ……………………5分

（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設PB的斜率為，………6分

則BP的直線方程為：.由得 ，設，則，

同理可得，則，. ………………9分

所以：AB的斜率為定值. ………………10分

（3）設AB的直線方程：.

由，得，

由，得

P到AB的距離為，………………12分

則

。

當且僅當取等號

∴三角形PAB面積的最大值為。………………14分

19.解: (1)依題意有,于是.

所以數列是等差數列.                      　　　　　　　　.4分

(2)由題意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②   

由②①得：,　所以是常數．　　　　　　　

由都是等差數列.

，那么得    ,

.    (   

故                           　　 1０分

(3) 當為奇數時,,所以

當為偶數時,所以   　　　　

作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：.                  　　　　　　　　　　　

當為奇數時,有,即        ①

， 當時，. 不合題意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

當為偶數時,有 ，,同理可求得  .

；；當時，不合題意．

綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為

；；　；16分

20⑴當x≥1時，只需2+a≥0即a≥-2

⑵作差變形可得：

=  (*)

x₁>0，x₂>o  從而

∴ln,又a<0   ∴（*）式≥0

即(當且僅當x₁=x₂時取“=”號)

 （3）可化為：

 x ∴lnx≤1≤x,因等號不能同時取到，∴lnx<x,lnx―x<0

∴a≥

令, x ,

=

 x,∴lnx―1―<0，且1―x≤0

從而，,所以g(x)在x上遞增，從而=g(1)= ―

由題設a≥―

即存在x，不等式f(x)≤(a+3)―能成立且a

21.A解（1）利用△CDO≌△BCM，可證MB=OC=AB

（2）由△PMB∽△BMC，得,∴BP=

B、設M=，則=8=，故

       =，故

聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

C.求直線（）被曲線所截的弦長，將方程，分別化為普通方程：

，………(5分)

 D．解：由柯西不等式可得

22、解析：（1）記“”為事件A， （）的取值共有10種情況，…………1分

滿足的（）的取值有以下4種情況：

（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），

所以；

（2）隨機變量的取值為2，3，4，5，的分布列是

2

3

4

5

P

               …………10分

所以的期望為

23、解：（1）由得

∵在數列中，∴，∴

故數列中的任意一項都小于1

（2）由（1）知，那么，

由此猜想：（n≥2）.下面用數學歸納法證明：

①當n=2時，顯然成立；

②當n=k時（k≥2,k∈N）時，假設猜想正確，即，

那么，

∴當n=k+1時，猜想也正確

綜上所述，對于一切，都有。