題目列表(包括答案和解析)
【必做題】(本題滿分10分)
某單位舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動，進行現場抽獎．盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案；抽獎規則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是‘‘海寶”，即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后后放同盒子，下一位參加者繼續重復進行。
（I）有三人參加抽獎，要使至少一人獲獎的概率不低于
，則“海寶”卡至少多少張?
（2）若有四張“海寶”卡，現有甲乙丙丁四人依次抽獎．用
表示獲獎的人數，求的分布列及E的值．
【必做題】(本題滿分10分)
某單位舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動，進行現場抽獎．盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案；抽獎規則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續重復進行．
（I）有三人參加抽獎，要使至少一人獲獎的概率不低于
，則“海寶”卡至少多少張？
（Ⅱ）現有甲乙丙丁四人依次抽獎，用
表示獲獎的人數，求的分布列及
的值．
必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
某商場搞促銷，當顧客購買商品的金額達到一定數量之后可以抽獎，根據顧客購買商品的金額，從箱中（裝有4只紅球，3只白球，且除顏色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只紅球獎勵20元的商品（當顧客通過抽獎的方法確定了獲獎商品后，即將小球全部放回箱中）
（1）當顧客購買金額超過500元而少于1000元（含1000元）時，可從箱中一次隨機抽取3個小紅球，求其中至少有一個紅球的概率；
（2）當顧客購買金額超過1000元時，可一次隨機抽取4個小球，設他所獲獎商品的金額為
元，求的概率分布列和數學期望．
【必做題】第22題和第23題為必做題, 每小題10分，共20分.要寫出必要的文字說明或演算步驟.
有甲、乙兩個箱子，甲箱
中有
張卡片，其中
張寫有數字
，張寫有數字
，張寫有數字；乙箱中也有張卡片，其中
張寫有數
字，張寫有數字，張寫有數字.
（1）如果從甲、乙箱中各取一張卡片，設取出的張卡片上數字之積為
，求的
分布列及的數學期望；
（2）如果從甲箱中取一張卡片，從乙箱中取兩張卡片，那么取出的張卡片都寫有
數字的概率是多少？
必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
某商場搞促銷，當顧客購買商品的金額達到一定數量之后可以抽獎，根據顧客購買商品的金額，從箱中（裝有4只紅球，3只白球，且除顏色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只紅球獎勵20元的商品（當顧客通過抽獎的方法確定了獲獎商品后，即將小球全部放回箱中）
（1）當顧客購買金額超過500元而少于1000元（含1000元）時，可從箱中一次隨機抽取3個小紅球，求其中至少有一個紅球的概率；
（2）當顧客購買金額超過1000元時，可一次隨機抽取4個小球，設他所獲獎商品的金額為
元，求的概率分布列和數學期望．
1．
； 2. 2. 3.200 4. 3 5．
6.
7．
8．6 9．
； 10.
11.1005 12.4 13. 1 14．
15．解： (1)．如圖，
，
即
．
（2）．在
中，由正弦定理得
由(1)得
，
即
．
16．解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴
，∴
；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得 
∵
，∴
∵
平面ABC，∴PA⊥BC.
(Ⅱ) 如圖所示取PC的中點G，
連結AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點
又D、E分別為BC、AC的中點，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分
∴面ABG∥面DEF
即PC上的中點G為所求的點 …………… 9分
(Ⅲ)
17．解：（1）由題意得
，
整理得
，解得
，
所以“學習曲線”的關系式為
．
（2）設從第
個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率為
，則
令
，則
，
顯然當
，即
時，最大，
將代入，得
，
所以，在從第3個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率最高．
18. 解：（1）由題可得
，
，設
則
，
，……………………2分
∴
，∵點
在曲線上，則
，∴
，從而
，得
.則點P的坐標為
. ……………………5分
（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設PB的斜率為
，………6分
則BP的直線方程為：
.由
得
，設
，則
，
同理可得
，則
，
. ………………9分
所以：AB的斜率
為定值. ………………10分
（3）設AB的直線方程：
.
由
，得
，
由
，得
P到AB的距離為
，………………12分
則
。
當且僅當
取等號
∴三角形PAB面積的最大值為
�！�14分
19.解:
(1)依題意有
,于是
.
所以數列
是等差數列.
.4分
(2)由題意得
,即
, (
)
①
所以又有
.
②
由②
①得：
, 所以
是常數．
由
都是等差數列.
，那么得 
,
. (
故
1０分
(3) 當
為奇數時,
,所以
當為偶數時,
所以
作
軸,垂足為
則
,要使等腰三角形
為正三角形,必須且只須：
.
當為奇數時,有
,即
①
， 當
時，. 
不合題意．
當為偶數時,有
，
,同理可求得 
.
；
；當
時，不合題意．
綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，
的值為
；
；
��；
16分
20⑴當x≥1時，
只需2+a≥0即a≥-2
⑵作差變形可得：
=
(*)
x1>0，x2>o 
從而
∴ln
,又a<0 ∴（*）式≥0
即
(當且僅當x1=x2時取“=”號)
（3）
可化為：
x
∴lnx≤1≤x,因等號不能同時取到，∴lnx<x,lnx―x<0
∴a≥
令
, x ,
=
x,∴lnx―1―
<0，且1―x≤0
從而，
,所以g(x)在x上遞增，從而
=g(1)= ―
由題設a≥―
即存在x，不等式f(x)≤(a+3)―
能成立且a
21.A解（1）利用△CDO≌△BCM，可證MB=OC=
AB
（2）由△PMB∽△BMC，得
,∴BP=
B、設M=
，則
=8=
，故
=
，故
聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=
．
C.求直線
（
）被曲線
所截的弦長，將方程，
分別化為普通方程：
，
………(5分)
D．解：由柯西不等式可得 
22、解析：（1）記“
”為事件A， （
）的取值共有10種情況，…………1分
滿足的（）的取值有以下4種情況：
（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），
所以
；
（2）隨機變量的取值為2，3，4，5，的分布列是
2
3
4
5
P
…………10分
所以的期望為
23、解：（1）由
得
∵在數列
中
，∴
，∴
故數列中的任意一項都小于1
（2）由（1）知
，那么
，
由此猜想：
（n≥2）.下面用數學歸納法證明：
①當n=2時，顯然成立；
②當n=k時（k≥2,k∈N）時，假設猜想正確，即
，
那么
，
∴當n=k+1時，猜想也正確
綜上所述，對于一切
，都有。
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