鄭州四中2008―2009學年高三第四次調考試題
理科數學 命題人：鄭培山
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1、若集合
，則
= （
）
A、
B、
C、
D、
2、．對于
，下列結論成立的是（ ）
A．Z是零 B．Z是負實數 C．Z是正實數 D．Z是純虛數
3、下列關系中，成立的是 ( )
A．
B．
C．
D．
4、已知函數
的反函數是
，那么函數
的圖象是
( )
（A） （B） （C） （D）
5、設Sn是等差數列
前n項和，符合
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
6、過點
的直線l經過圓
的圓心，則直線l的傾斜角大小為（ ）
A．150° B．120° C．30° D．60°
7、若偶函數
在區間[－1，0]上是減函數，
是銳角三角形的兩個內角，且
，則下列不等式中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8、曲線
在
處的切線的斜率為 （ ）
A 
B 
C 
D 
9、若向量
，則
與
一定滿足（ ）
A、與的夾角等于
B、
C、
D、
10、已知
，且
，則下列不等式不正確的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
11、若
，且函數
在
上單調遞增，則
的取值范圍是:
A. 
B. 
C. 
D.
12、如圖，橢圓
+
= 1（a＞b＞0）的離心率e =
，左焦點為F，A，B，C為其三個頂點，直線CF與AB交于D，則tan∠BDC的值等于（ ）
A．3
B．－3 C．－
D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.
13、函數
的定義域是 .
14、點A（4，5）關于直線l的對稱點為B（－2，7），則l的方程為______
15、
.
16、不等式組
所確定的平面區域記為
，若⊙
：
上的所有點都在區域上，則⊙周長的最大值是
.
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明或演算步驟.
17．（本小題滿分10分）
在
中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知
，的外接圓半徑為
．
（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求
的最大值．
18、（本小題滿分12分）
甲乙兩人參加奧運知識競賽，已知甲乙兩人答對每題的概率分別為
與
，且答對得1分，答錯得0分．
（1）甲乙各答一題，求得分之和的分布列及期望；
（2）甲乙各答兩題，求四次至少對一次的概率。
19．（本小題滿分12分）
已知數列
中，其前
項和
滿足
是大于0的常數），且
.
（I）求
的值；
（II）求數列的通項公式
；
（III）設數列
的前項和為
，求.
20．（本小題滿分12分）
已知函數
．
（Ⅰ）當
時，試分析函數
的極值，若存在，求出其極值；若不存在，請說明理由.
（Ⅱ）若函數是R上的增函數，求a的取值范圍．
21、（本小題滿分12分）
已知橢圓的焦點是
、
，過
并垂直于
軸的直線與橢圓的一個交點為B，且
，橢圓上的不同兩點
、
滿足條件
成等差數列.
(1)求橢圓的方程；
(2)求弦AC中點的橫坐標；
(3)設弦AC的垂直平分線的方程為
,求
的取值范圍.
22、(本小題滿分12分)
已知數列
中，
，
．
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）已知
，證明：
；
鄭州四中2008―2009學年高三第四次調考試題
1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B
11.A 12．B
13．
14． 
15． 
16．
17．(本小題滿分12分)
（Ⅰ）由正弦定理知sinA=
，sinB
，sinC=
．
∴ 2
，
∴ 
．
∴
，
．
（Ⅱ）∵ 
=
=
=
=
=
=
．
，∴
，
∴當
時，即
時
．
18．（本小題滿分12分）
解（1）記得分之和為隨機變量
則＝0，1，2 其中
0
1
2
P
（2）
19、(本小題滿分12分)
（I）解：由
得
，
（II）由
，
∴數列{
}是以S1+1=2為首項，以2為公比的等比數列，
當n=1時a1=1滿足
（III）
①
，②
①－②得
，
則
.
20、(本小題滿分12分)
解：
（Ⅰ）∵
．
∴當
時，
．
因為，
對一切
成立，
所以，
對一切成立，所以
是R上的減函數，
因此，沒有極值．
（Ⅱ）∵是R上的增函數，故
在R上恒成立，
即
在R上恒成立．
令
，可得，
．
由
，得
或
．
因此，函數
在
上單調遞減，在（－1，1）上單調遞增，
在（1，+
）上單調遞減．
∴當時，有極小值
，當時，有極大值
．
又
，故知為函數的最小值．
∴
，但是當
時，也是R上的增函數．
因此a的取值范圍是
．
21、(本小題滿分12分)
解：(1)由橢圓定義及已知條件知
又c=4，∴b2=a2-c2=9.
故橢圓方程為
+
=1.
(2)由點B在橢圓上，可知|F2B|=|yB|=
，而橢圓的右準線方程為x=
，離心率為
，
由橢圓定義有|F2A|=(-x1)，|F2C|=(-x2).
依題意|F2A|+|F2C|=2|F2B|.
則(-x1)+(-x2)=2×.
∴x1+x2=8.
設弦AC的中點為P(x0，y0)，則x0=
=4,
即弦AC的中點的橫坐標為4.
(3)由A(x1,y1)，C(x2,y2)在橢圓上得9x12+25y12=9×25，9x22+25y22=9×25.
兩式相減整理得9()+25(
)(
)=0(x1≠x2).
將=x0=4，=y0，=-
(k≠0)代入得
9×4+25y0(-)=0,即k=
y0.
由于P(4,y0)在弦AC的垂直平分線上，
∴y0=4k+m,于是m=y0-4k=y0-
y0=-
y0.
而-<y0<，∴-
<m<.
22、(本小題滿分12分)
解：（I）①
時，
，
故結論成立．
②假設
時結論成立，即
．
∴
，即
．
也就是說
時，結論也成立．
由①②可知，對一切
均有
．
（Ⅱ）要證
，即證
，其中
．
令
，
．
由
，得
．
+
0
―
極大值
又
，
．
∴當
，
，∴
．
∴
，即
．
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