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福建省泉州市部分重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三期末聯(lián)考試卷

數(shù)學(xué)（理科）

一、選擇題：（每題5分）

1．已知a∈R，設(shè)集合A＝{x||x－1|≤2a－a²－2}，則A的子集個(gè)數(shù)共有（）

A．0個(gè)　　　　　　B．1個(gè)　　　　　C．2個(gè)　　　D．無(wú)數(shù)個(gè)

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2．若a、b、c為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A．若a＞b，則ac²＞bc²　　　　　B．若a＜b＜0，則a²＞ab＞b²

C．若a＜b＜0，則＜　　　 D．若a＜b＜0，則＞

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3．已知函數(shù)y=2sin（ωx+φ），（ω＞0）的對(duì)稱中心為（n，0），（n∈Z）；則ω=（）

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A 1 B 2 C π D

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4．方程xy=lg|x|的曲線只能是（）

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5．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則m的取值范圍是（）

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A． B． C． D．

6．若，則點(diǎn)必在（）

A．直線的左下方 B．直線的右上方

C．直線的左下方 D．直線的右上方

7．已知實(shí)數(shù)a，b滿足：(其中i是虛數(shù)單位)，若用S_n表示數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則S_n的最大值是 ( )

(A)16 (B)15 (C)14 (D)12

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8.拋物線y²=x與過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的直線所圍成圖形的面積為（）

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A B C D

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9．下列命題中：①函數(shù)的最小值是：②在△ABC中，若，則△ABC是等腰或直角三角形；③如果正實(shí)數(shù)，a，b，c滿足a+b>c，則；④如果是可導(dǎo)函數(shù)，則是函數(shù)在x=x₀處取到極值的必要不充分條件．其中正確的命題是 ( )

(A)①②③④ (B)①④ (C)②③④ (D)②③

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10.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且，. 則有窮數(shù)列{}( ）的前項(xiàng)和大于的概率是（）

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A． B． C． D．

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文本框: 主視圖文本框: 側(cè)（左）視圖文本框: 俯視圖二、填空題：（除14題6分其余每題5分）

11．已知＝(cosθ，sinθ)，＝(3－cosθ，4－sinθ)，若∥，則cos2θ＝　　　．

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12、如圖所示是三棱錐D-ABC的三視圖，其中△DAC、△DAB、△BAC都是直角三角形，點(diǎn)O在三個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn)，則在三棱錐D-ABC中DO的長(zhǎng)度為_(kāi)________；該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______.

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13. 在圓中有結(jié)論:如圖,“AB是圓O的直經(jīng),直線AC,BD是圓O過(guò)A,B的切線,P是圓O上任意一點(diǎn),CD是過(guò)P的切線,則有”。類比到橢圓：“AB是橢圓的長(zhǎng)軸,直線AC,BD是橢圓過(guò)A,B的切線,P是橢圓上任意一點(diǎn),CD是過(guò)P的切線,則有 .”

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14. 選做題(只需在（1）（2）小題中任選一題;（3）小題為必做題)

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(1)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)圓的面積為 .

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(2)（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）極坐標(biāo)內(nèi)曲線的中心與點(diǎn)的距離為．

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(3)(不等式選講選做題) 若不等式

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無(wú)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是　　　　　　　.

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15．執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的。

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三、解答題：（共74分）

16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝asinωx－acosωx(a＞0，ω＞0)的圖象上兩相鄰最高點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，2)和(，2)．

（1）求a與ω的值；

（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且f(A)＝2，求的值．

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17．（本小題滿分12分）甲、乙、丙三人參加了一家公司招聘面試，甲表示只要面試合格就簽約；乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約，設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響。

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（1）求至少有一人面試合格的概率；（2）求簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

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18.（本小題題滿分12分）如圖：在四棱錐中，底面為正方形，與底面垂直，且，為棱上的點(diǎn).

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（1）為底面對(duì)角線上的點(diǎn)，且，求證：平面；

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（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.

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19．（本小題滿分12分）設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大．記點(diǎn)的軌跡為曲線

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（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)圓過(guò)，且圓心在的軌跡上，是圓在軸上截得的弦，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)弦長(zhǎng)是否為定值?請(qǐng)說(shuō)明理由．

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20．（本小題滿分12分）設(shè)方程tan²πx－4tanπx＋＝0在[n－1，n)(n∈N*)內(nèi)的所有解之和為a_n．

（1）求a₁、a₂的值，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

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（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足條件：b₁＝2，b_n_＋1≥a，求證：　＋＋…＋＜2．

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22．（本小題滿分14分）若函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數(shù)，且f(x)_極小值＝f(－)＝－．

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）求函數(shù)f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；

（3）設(shè)函數(shù)g(x)＝，若不等式g(x)?g(2k－x)≥(－k)²在(0，2k)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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一、選擇題：BBCCD CCBDC　

二、填空題：

11. － 12. 13．；　14．；;　15．

三、解答題：

16．解（1）f(x)＝asinωx－acosωx＝2asin(ωx－)

由已知知周期T＝－＝π，　故a＝1，ω＝2；……………………6分

（2）由f(A)＝2，即sin(2A－)＝1，又－＜2A－＜，則2A－＝，解得A＝＝60⁰…8分

故＝＝＝＝＝2．……12分

17．A、B、C分別表示事件甲、乙、丙面試合格，則

（1）至少有一人合格的概率P=1－P（）= 4分

（2）可能取值0，1，2，3 5分

∴分布列為

9分

12分

18解：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

則在正方形中，又，，

故在△中，

又平面，平面，所以，平面

（2）面，四邊形為正方形，故以點(diǎn)為原點(diǎn)，

為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

，，

面，是面的一個(gè)法向量

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，且，

，取，得，

此時(shí)，向量和的夾角就等于二面角的平面角

二面角的余弦值為

19．解：（1）依題意，到距離等于到直線的距離，曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線（2分）

曲線方程是（4分）

（2）設(shè)圓心，因?yàn)閳A過(guò)

故設(shè)圓的方程（7分）

令得：

設(shè)圓與軸的兩交點(diǎn)為，則（10分）

在拋物線上，（13分）

所以，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)為定值2 （14分）

20．方程tan²πx－4tanπx＋＝(tanπx－1)(tanπx－)＝0

得tanπx＝或tanπx＝

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，x∈[0，1)，即πx∈[0，π)

由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝或πx＝

故a₁＝＋＝；………………2分

當(dāng)n＝2時(shí)，x∈[1，2)，則πx∈[π，2π)

由tanπx＝或tanπx＝，得πx＝或πx＝

故a₁＝＋＝………………4分

當(dāng)x∈[n－1，n)時(shí)，πx∈[(n－1)π，nπ)

由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝＋(n－1)π或πx＝＋(n－1)π

得x＝＋(n－1)或x＝＋(n－1)，

故a_n＝＋(n－1)＋＋(n－1)＝2n－………6分

（2）由（1）得b_n_＋1≥a＝2b_n－……………………8分

即b_n_＋1－≥a＝2(b_n－)≥2²(b_n_－1－)≥…≥2ⁿ(b₁－)＝2ⁿ^－1＞0……10分

則≤，即≤

＋＋…＋≤1＋＋…＋＝2－＜2．……12分

21．解：（1）函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數(shù)，則b＝d＝0，

∴f ^/(x)＝3ax²＋c，則

故f(x)＝－x³＋x；………………………………4分

（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)

∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函數(shù)，在[－，]上是減函數(shù)，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　

如圖所示，

當(dāng)－1＜m＜0時(shí)，f(x)_max＝f(－1)＝0；

當(dāng)0≤m＜時(shí)，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，

當(dāng)m≥時(shí)，f(x)_max＝f()＝．

故f(x)_max＝．………………9分

（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，則x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，

又令t＝xy，則0＜t≤k²，

故函數(shù)F(x)＝g(x)?g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

�。剑玿y－＝＋t＋2，t∈(0，k²]

當(dāng)1－4k²≤0時(shí)，F(xiàn)(x)無(wú)最小值，不合

當(dāng)1－4k²＞0時(shí)，F(xiàn)(x)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，

且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，

必須，

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，)]．………………14分

同步練習(xí)冊(cè)答案

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