題目列表(包括答案和解析)
直四棱柱
中,
,
為等邊三角形, 且
.
⑴ 求
與
所成角的余弦值；
⑵ 求二面角
的大��；
⑶ 設
是
上的點,當
為何值時，
平面
？并證明你的結論.
（本小題滿分12分）如圖，在長方
中，
，
，當E為AB中點時，求二面角
的余弦值．
中，
，
，當E為AB中點時，求二面角
的余弦值．
如圖，四棱錐
中，底面
是平行四邊形，
底面
（Ⅰ）求證：
；（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）當時，在線段
上是否存在一點
使二面角
為
，若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由。
中，底面
是平行四邊形，
底面
；（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值；時，在線段
上是否存在一點
使二面角
為
，若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由。
一、選擇題：BBCCD CCBDC
二、填空題：
11. － 12.
13．
； 14．
；
;
15．
三、解答題：
16．解（1）f(x)＝asinωx－acosωx＝2asin(ωx－)
由已知知周期T＝－＝π， 故a＝1，ω＝2；……………………6分
（2）由f(A)＝2，即sin(
故＝＝ ＝＝＝2．……12分
17．A、B、C分別表示事件甲、乙、丙面試合格，則
（1）至少有一人合格的概率P=1－P（
）=
4分
（2）
可能取值0，1，2，3
5分
∴分布列為
0
1
2
3
P
9分
12分
18解：（1）連接
，交
于點
，連接
，
則在正方形
中，
又
，
，
故在△
中，
又
平面
，
平面，所以，
平面
（2）
面，四邊形為正方形，故以點
為原點，
為
軸，
為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
面，
是面
的一個法向量
設
是平面
的一個法向量，則
，且
，
，取
，得
，
此時，向量
和
的夾角就等于二面角
的平面角
二面角的余弦值為
19．解：（1）依題意，
到
距離等于到直線
的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線 （2分）
曲線方程是
（4分）
（2）設圓心
，因為圓
過
故設圓的方程
（7分）
令
得：
設圓與軸的兩交點為
，則
（10分）
在拋物線上，
（13分）
所以，當運動時，弦長
為定值2 （14分）
20．方程tan2πx－4tanπx＋＝(tanπx－1)(tanπx－)＝0
得tanπx＝或tanπx＝
（1）當n＝1時，x∈[0，1)，即πx∈[0，π)
由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝或πx＝
故a1＝＋＝；………………2分
當n＝2時，x∈[1，2)，則πx∈[π，2π)
由tanπx＝或tanπx＝，得πx＝或πx＝
故a1＝＋＝………………4分
當x∈[n－1，n)時，πx∈[(n－1)π，nπ)
由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝＋(n－1)π或πx＝＋(n－1)π
得x＝＋(n－1)或x＝＋(n－1)，
故an＝＋(n－1)＋＋(n－1)＝2n－………6分
（2）由（1）得bn＋1≥a＝2bn－……………………8分
即bn＋1－≥a＝2(bn－)≥22(bn－1－)≥…≥2n(b1－)＝2n－1＞0……10分
則≤，即≤
＋＋…＋≤1＋＋…＋＝2－＜2．……12分
21．解：（1）函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函數，則b＝d＝0，
∴f /(x)＝3ax2＋c，則
故f(x)＝－x3＋x；………………………………4分
（2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－)
∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函數，在[－，]上是減函數，
由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，
如圖所示，
當－1＜m＜0時，f(x)max＝f(－1)＝0；
當0≤m＜時，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，
當m≥時，f(x)max＝f()＝．
故f(x)max＝．………………9分
（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，則x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2，
又令t＝xy，則0＜t≤k2，
故函數F(x)＝g(x)?g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
�。剑玿y－＝＋t＋2，t∈(0，k2]
當1－4k2≤0時，F(x)無最小值，不合
當1－4k2＞0時，F(x)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，
且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立，
必須，
故實數k的取值范圍是(0，)]．………………14分
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