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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，短軸兩個端點(diǎn)為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P．證明：為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，短軸兩個端點(diǎn)為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P．證明：為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，短軸兩個端點(diǎn)為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P．證明：為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：BBCCD    CCBDC　

二、填空題：

11. －  12.   13．；　14．；;　15．

三、解答題：

16．解（1）f(x)＝asinωx－acosωx＝2asin(ωx－)

由已知知周期T＝－＝π，    　故a＝1，ω＝2；……………………6分

（2）由f(A)＝2，即sin(2A－)＝1，又－＜2A－＜，    則2A－＝，解得A＝＝60⁰…8分

故＝＝ ＝＝＝2．……12分

17．A、B、C分別表示事件甲、乙、丙面試合格，則

（1）至少有一人合格的概率P=1－P（）=          4分

（2）可能取值0，1，2，3                                         5分

∴分布列為                                                   

0

1

2

3

 P

   9分

                              12分

18解：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

則在正方形中，又，，

故在△中，

又平面，平面，所以，平面

（2）面，四邊形為正方形，故以點(diǎn)為原點(diǎn)，

為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

，，

面，是面的一個法向量

設(shè)是平面的一個法向量，則，且，

，取，得，

此時，向量和的夾角就等于二面角的平面角

   二面角的余弦值為

19．解：（1）依題意，到距離等于到直線的距離，曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線                                                （2分）

  曲線方程是                                     （4分）

（2）設(shè)圓心，因?yàn)閳A過

故設(shè)圓的方程                       （7分）

令得：

設(shè)圓與軸的兩交點(diǎn)為，則  （10分）

在拋物線上，    （13分）

所以，當(dāng)運(yùn)動時，弦長為定值2                           （14分）

20．方程tan²πx－4tanπx＋＝(tanπx－1)(tanπx－)＝0

得tanπx＝或tanπx＝

（1）當(dāng)n＝1時，x∈[0，1)，即πx∈[0，π)

由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝或πx＝            

故a₁＝＋＝；………………2分

當(dāng)n＝2時，x∈[1，2)，則πx∈[π，2π)

由tanπx＝或tanπx＝，得πx＝或πx＝       

故a₁＝＋＝………………4分

當(dāng)x∈[n－1，n)時，πx∈[(n－1)π，nπ)

由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝＋(n－1)π或πx＝＋(n－1)π

得x＝＋(n－1)或x＝＋(n－1)，     

故a_n＝＋(n－1)＋＋(n－1)＝2n－………6分

（2）由（1）得b_n＋1≥a＝2b_n－……………………8分

即b_n＋1－≥a＝2(b_n－)≥2²(b_n－1－)≥…≥2ⁿ(b₁－)＝2^n－1＞0……10分

則≤，即≤

＋＋…＋≤1＋＋…＋＝2－＜2．……12分

21．解：（1）函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數(shù)，則b＝d＝0，

∴f ^/(x)＝3ax²＋c，則

故f(x)＝－x³＋x；………………………………4分

（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)

∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函數(shù)，在[－，]上是減函數(shù)，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　

如圖所示，

當(dāng)－1＜m＜0時，f(x)_max＝f(－1)＝0；

當(dāng)0≤m＜時，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，

當(dāng)m≥時，f(x)_max＝f()＝．

故f(x)_max＝．………………9分

（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，則x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，

又令t＝xy，則0＜t≤k²，

故函數(shù)F(x)＝g(x)?g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

             　＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]

當(dāng)1－4k²≤0時，F(xiàn)(x)無最小值，不合

當(dāng)1－4k²＞0時，F(xiàn)(x)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，

且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，

必須，

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，)]．………………14分