第四節 二次函數
【回顧與思考】
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【例題經典】
由拋物線的位置確定系數的符號
例1 （1）二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖1，則點M（b，-.files/image004.gif)
）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）（2005年武漢市）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數值相等；③
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
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(1) (2)
【點評】弄清拋物線的位置與系數a，b，c之間的關系，是解決問題的關鍵．
會用待定系數法求二次函數解析式
例2 （2006年煙臺市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以
（1）寫出y與x的關系式；
（2）當x=2，3.5時，y分別是多少？
（3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？
求拋物線頂點坐標、對稱軸.
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例3 （2005年天津市）已知拋物線y=-.files/image012.gif)
x2+x--.files/image014.gif)
．
（1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸．
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長．
【點評】本題（1）是對二次函數的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數與一元二次方程的關系．
【考點精練】
基礎訓練
1．二次函數y=x2的圖象向右平移3個單位，得到新的圖象的函數表達式是（ ）
A．y=x2+3 B．y=x2
2．二次函數y=-（x-1）2+3圖像的頂點坐標是（ ）
A．（-1，3） B．（1，3） C．（-1，-3） D．（1，-3）
3．二次函數y=x2+x-6的圖象與x軸交點的橫坐標是（ ）
A．2和-3 B．-2和
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4．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論：①a>0；②c>0；③b2
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
5．（2006年常德市）根據下列表格中二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數值y的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的一個解x的范圍是（ ）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
-0.03
-0.01
0.02
0.04
A．6<x<6.17 B．6.17<x<6.18
C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20
6．（2006年南充市）二次函數y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0時y=-4則（ ）
A．y最大=-4 B．y最小=
7．（2006年蘇州市）拋物線y=2x2+4x+5的對稱軸是x=______．
8．（2006年宿遷市）將拋物線y=x2向左平移4個單位后，再向下平移2個單位，則此時拋物線的解析式是________．
9．（2006年錦州市）已知二次函數的圖象開口向上，且頂點在y軸的負半軸上，請你寫出一個滿足條件的二次函數的表達式________．
10．（2006年長春市）函數y=x2+bx-c的圖象經過點（1，2），則b-c的值為______．
能力提升
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11．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+c（a≠0）的圖象過正方形ABOC的三個頂點A，B，C，則ac的值是________．
12．觀察下面的表格：
x
0
1
2
ax2
2
ax2+bx+c
4
6
（1）求a，b，c的值，并在表格內的空格中填上正確的數；
（2）求二次函數y=ax2+bx+c圖象的頂點坐標與對稱軸．
13．（2006年南通市）已知拋物線y=ax2+bx+c經過A，B，C三點，當x≥0時，其圖象如圖所示．
（1）求拋物線的解析式，寫出拋物線的頂點坐標；
（2）畫出拋物線y=ax2+bx+c當x<0時的圖象；
（3）利用拋物線y=ax2+bx+c，寫出x為何值時，y>0．
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14．（2006年長春市）如圖，P為拋物線y=-.files/image022.gif)
x2--.files/image024.gif)
x+-.files/image026.gif)
上對稱軸右側的一點，且點P在x軸上方，過點P作PA垂直x軸于點A，PB垂直y軸于點B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面積．
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15．（2006年莆田市）枇杷是莆田名果之一．某果園有100棵枇杷樹，每棵平均產量為40千克．現準備多種一些枇杷樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹接受的陽光就會減少．根據實踐經驗，每多種一棵樹，投產后果園中所有的枇杷樹平均每棵就會減少產量0.25千克．問：增種多少棵枇杷樹，投產后可以使果園枇杷的總產量最多？最多總產量是多少千克？[注：拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標是（--.files/image030.gif)
，-.files/image032.gif)
）]
16．（2006年常州市）在平面直角坐標系中，已知二次函數y=a（x-1）2+k的圖像與x軸相交于點A、B，頂點為C，點D在這個二次函數圖像的對稱軸上，若四邊形ABCD是一個邊長為2且有一個內角為60°的菱形，求此二次函數的表達式．
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答案:
例題經典
例1：（1）D （2）B 例2：（1）y=2x2，（2）8；24.5；（3）5秒．
例3：（1）頂點（-1，-3），對稱軸x=-1，（2）2-.files/image036.gif)
考點精練
1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．C 7．x=-1 8．y=（x+4）2-2（y=x2+8x+14）
9．答案不唯一，符合要求即可．如：y=x2-2 10．1 11．-2
12．（1）a=2，b=-3，c=4，0，8，3 （2）頂點（-.files/image022.gif)
，-.files/image038.gif)
）對稱軸是直線x=
13．（1）y=--.files/image012.gif)
x2+-.files/image024.gif)
x+2，頂點坐標（，-.files/image040.gif)
） （2）略，（3）當-1<x<4時，y>0．
14．∵PA⊥x軸，AP=1，∴點P的縱坐標為1．當y=1時，x2-x+-.files/image026.gif)
=1，
即x2-2x-1=0，解得x1=1+-.files/image042.gif)
，x2=1-，
∵拋物線的對稱軸為x=1，點P在對稱軸的右側，
∴x=1+，∴矩形PAOB的面積為（1+）個平方單位．
15．設增種x棵時，果園的總產量為y千克，
根據題意得：y=（100+x）（40-0.25x）=4000-25x+40x-0.25x2=-0.25x2+15x+4000，
∵a=-0.25<0，
∴當x=--.files/image030.gif)
=--.files/image044.gif)
=30時，y最大，
y最大值=-.files/image032.gif)
=-.files/image046.gif)
=4225．
答：當增種30棵枇杷樹時，投產后果園總產量最多，達
16．解：本題共四種情況，設二次函數的圖像的對稱軸與x軸相交于點E，
（1）如圖①，
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當∠CAD=60°時，因為ABCD為菱形，一邊長為2，
所以DE=1，BE=-.files/image050.gif)
，所以點B的坐標為（1+，0），點C的坐標為（1，-1），
解得k=-1，a=-.files/image052.gif)
，所以y=（x-1）2-1．
（2）如圖②，當∠ACB=60°時，由菱形性質知點A的坐標為（0，0），
點C的坐標為（1，），解得k=-，a=，所以y=（x-1）2-，
同理可得：y=-（x-1）2+1=，y=-（x-1）2+，
所以符合條件的二次函數的表達式有：
y=（x-1）2-1，
y=（x-1）2-，
y=-（x-1）2+1，
y=-（x-1）2+．
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