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練習(xí)冊(cè)

練習(xí)冊(cè)
試題

2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（重慶卷）

本試卷分第Ⅰ部分（選擇題）和第Ⅱ部分（非選擇題）共150分考試時(shí)間120分鐘.

第Ⅰ部分（選擇題共60分）

參考公式：

如果事件A、B互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨(dú)立，那幺 P(A?B)=P(A)?P(B)

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

（1）函數(shù)的定義域是：

（A）（B）（C）（D）

（2）設(shè)復(fù)數(shù), 則（A）?3 （B）3 （C）－3i （D）3i

（3）圓的圓心到直線的距離為

（A）2 （B）（C）1 （D）

（4）不等式的解集是（A）（B）

（C）（D）

（5）（A）（B）（C）（D）

（6）若向量的夾角為，,則向量的模為（A）2 （B）4 （C）6 （D）12

（7）一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是：

（A）（B）（C）（D）

（8）設(shè)P是的二面角內(nèi)一點(diǎn)，垂足，則AB的長為

（A）（B）（C）（D）

（9）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是：

（A）4005 （B）4006 （C）4007 （D）4008

（10）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：

（A）（B）（C）（D）

（11）某校高三年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：

（A）（B）（C）（D）

（12）若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△ABC組成圖形可能是

A

A

C

B

P

P

C

B

（A）（B）

C

B

A

B

A

C

P

P

（C）（D）

第Ⅱ部分（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）若在的展開式中的系數(shù)為，則.

（14）曲線在交點(diǎn)處切線的夾角是______，（用幅度數(shù)作答）

（15）如圖P₁是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P₁的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形P₂，然后依次剪去一個(gè)更小半圓（其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑）得圓形P₃、P₄、…..，P_n，…,記紙板P_n的面積為，則.

（16）對(duì)任意實(shí)數(shù)K，直線：與橢圓：恒有公共點(diǎn)，則b取值范圍是_______________

（17）（本小題滿分12分）

三、解答題：本題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在

上的單調(diào)遞增區(qū)間。

（18）（本小題滿分12分）

設(shè)一汽車在前進(jìn)途中要經(jīng)過4個(gè)路口，汽車在每個(gè)路口遇到綠燈（允許通行）的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為。假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，表示停車時(shí)已經(jīng)通過的路口數(shù)，求：

（Ⅰ）的概率的分布列及期望E;

（Ⅱ）停車時(shí)最多已通過3個(gè)路口的概率。

（19）（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，

（Ⅰ）明MF是異面直線AB與PC的公垂線；

（Ⅱ）若,求直線AC與平面EAM所成角的正弦值。

（20）（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù); 并證明有兩個(gè)不同的極值點(diǎn);

（Ⅱ）若不等式成立，求的取值范圍.

（21）（本小題滿分12分）

設(shè)是一常數(shù)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）。試證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程.

Y

y²=2px

B

X

Q(2p,0)

O

A

（22）（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列滿足

（Ⅰ）證明對(duì)一切正整數(shù)n 成立；

（Ⅱ）令,判斷的大小，并說明理由。

2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（重慶卷）

一、選擇題：每小題5分，共60分.

（1）D （2）A （3）D （4）A （5）B （6）C

（7）C （8）C （9）B （10）B （11）D （12）D

二、填空題：每小題4分，共16分.

（13）－2 （14）（15）（16）[－1，3]

三、解答題：共74分.

（17）（本小題12分）

解：

故該函數(shù)的最小正周期是；最小值是－2；

單增區(qū)間是[]，

（18）（本小題12分）

解：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4

用A_K表示“汽車通過第k個(gè)路口時(shí)不停（遇綠燈）”，

則P（A_K）=獨(dú)立.

故

從而有分布列：

0 1 2 3 4

P

（II）

答：停車時(shí)最多已通過3個(gè)路口的概率為.

（I）證明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

證得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB與PC的公垂線.

（II）解：連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)BE，過O作BE的垂線OH，

垂足H在BE上.

易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，

又OH⊥BE，故OH//DE，

因此OH⊥面MAE.

連結(jié)AH，則∠HAO是所要求的線AC與面NAE所成的角

設(shè)AB=a，則PA=3a， .

因Rt△ADE~Rt△PDA，故

（20）（本小題12分）

解：（I）

因此是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn).

（II）因

又由（I）知

代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡得

（21）（本小題12分）

解法一：由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為：.

又設(shè)，則其坐標(biāo)滿足

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由此得

因此.

故O必在圓H的圓周上.

又由題意圓心H（）是AB的中點(diǎn)，故

由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且.

從而當(dāng)k=0時(shí)，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.

此時(shí)，直線AB的方程為：x=2p.

解法二：由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為：ky=x－2p

又設(shè)，則其坐標(biāo)滿足

分別消去x，y得

故得A、B所在圓的方程

明顯地，O（0，0）滿足上面方程所表示的圓上，

又知A、B中點(diǎn)H的坐標(biāo)為

故

而前面圓的方程可表示為

故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點(diǎn)O（0，0）.

又，

故當(dāng)k=0時(shí)，R²最小，從而圓的面積最小，此時(shí)直線AB的方程為：x=2p.

解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上

又直徑|AB|=

上式當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小.

此時(shí)直線AB的方程為x=2p.

（22）（本小題14分）

（I）證法一：當(dāng)不等式成立.

綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切正整數(shù)成立.

證法二：當(dāng)n=1時(shí)，.結(jié)論成立.

假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即

當(dāng)的單增性和歸納假設(shè)有

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

因此，對(duì)一切正整數(shù)n均成立.

證法三：由遞推公式得

上述各式相加并化簡得

（II）解法一：

解法二：

I

解法三：

故.

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