Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系，xOy的平面內，有一個半徑為R，圓心坐標（0，－3R）的圓形區域，該區域內存在著磁感應強度為、方向垂直坐標平面向里的勻強磁場；有一對平行電極板垂直于x軸且關于y軸對稱放置，極板AB、CD的長度和兩板間距均為2R，極板的兩個端點B和D位于x軸上，AB板帶正電，CD板帶負電。在的區域內有垂直于坐標平面向里的磁感應強度為（未知）的勻強磁場。現有一坐標在（R，－3R）的電子源能在坐標平面內向圓形區域磁場內連續不斷發射速率均為、方向與y軸正方形夾角為θ（θ可在0內變化）的電子。已知電子的電荷量大小為e，質量為m，不計電子重力及電子間的相互作用，兩極板之間的電場看成勻強電場且忽略極板的邊緣效應。電子若打在AB極板上則即刻被導走且不改變原電場分布；若不考慮電子經過第一、二象限的磁場后的后續運動。求：

(1)電子進入圓形磁場區域時的偏轉半徑；

(2)若從發射的電子能夠經過原點O，則兩極板間電壓為多大？

(3)若，將兩極板間的電壓調整為第（1）問中電壓的兩倍（兩極板極性不變），電子的發射方向不變，求電子從邊界處的哪一位置離開磁場？

(4)若，兩極板間的電壓大小可以從0開始調節（兩極板極性不變），則θ在哪個范圍內發射進入的電子最終能夠擊中（3R，0）點？并求出這些電子在區域內運動的最長時間。（結果可用反三角函數表示，例如，則α可表示為arctan2）

Answer 1

【答案】(1)R(2)(3)(4)

【解析】

(1)電子在圓形磁場區域中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，則有

解得

(2)根據幾何關系可得：電子離開圓形磁場時的速度方向豎直向上，那么，電子運動到O點的軌跡如圖所示

電子在極板間運動只受電場力作用，故電子做類平拋運動，加速度

豎直位移為2R，水平位移為

故有

所以，兩極板間電壓

(3)將兩極板間的電壓調整為第（1）問中電壓的兩倍，電子做類平拋運動的加速度變為原來的2倍，電子在兩板間運動時間不為，由公式可知，水平位移變為原來的兩倍，由平拋運動規律，速度反向延長線過豎直位移的中點可知，粒子進入磁場B2的方向與x軸負方向成角，即在坐標原點左側處射入磁場，磁場變為原來的，半徑變為原來的3倍，由數學知識可得，弦長

所以出射點在坐標原點右側離坐標原點的距離為

(4)設電子進入y≥0區域時的速度為v，到F的距離為2d，粒子做勻速圓周運動的軌道半徑為r；則豎直分量為v0；由幾何關系可得

根據洛倫茲力做向心力可得

所以

故

故從

處離開電場的電子可以擊中收集板的右端點F；又有兩極板間的電壓大小可以從0開始調節，電子進入電場時的速度豎直向上，在電場中運動向左偏轉；所以，離開圓形磁場區域時的x軸坐標在范圍內的電阻可以擊中收集板的右端點F，根據電子在圓形磁場區域的軌道半徑為R，由幾何關系可得