Question

宇宙中存在一些離其它恒星很遠的四顆恒星組成的四星系統，通常可忽略其它星體對它們的引力作用．穩定的四星系統存在多種形式，其中一種是四顆質量相等的恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動；另一種如圖所示，四顆恒星始終位于同一直線上，均圍繞中點O做勻速圓周運動．已知萬有引力常量為G，求：
（1）已知第一種形式中的每顆恒星質量均為m，正方形邊長為L，求其中一顆恒星受到的合力．
（2）已知第二種形式中的兩外側恒星質量均為m、兩內側恒星質量均為M，四顆恒星始終位于同一直線，且相鄰恒星之間距離相等．求內側恒星質量M與外側恒星質量m的比值

M

m

．

Answer 1

（1）其中一顆恒星受到的合力F=2×G

m2

L2

cos45°+G

m2

( 2 L)2

=

1+2 2

2

Gm2

L2

．
（2）設相鄰恒星之間的距離為L，則有：G

Mm

L2

+G

Mm

(2L)2

+G

m2

(3L)2

=m?2Lω2
G

M2

L2

+G

Mm

(2L)2

-G

Mm

L2

=MLω2
聯立兩式解得

M

m

=

85

63

答：（1）其中一顆恒星受到的合力為

1+2 2

2

Gm2

L2

．
（2）內側恒星質量M與外側恒星質量m的比值

M

m

=

85

63

．