Question

某同學設想用帶電粒子的運動軌跡做出“0”、“8”字樣，首先，如圖甲所示，在真空空間的豎直平面內建立直角坐標系，在和處有兩個與軸平行的水平界面和，它們把空間分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區域，在三個區域內分別存在勻強磁場、、，其   

大小滿足，方
向如圖甲所示．在Ⅱ區域內的軸左右
兩側還分別存在勻強電場、(圖中
未畫出)，忽略所有電、磁場的邊緣效應．
是以坐標原點為中心對稱的正方
形，其邊長．現在界面上的
A處沿軸正方向發射一比荷的帶正電荷的粒子(重力不計)，粒子恰能沿圖中實線途經B、C、，D三點后回到A點并做周期性運動，軌跡構成一個“0”字．已知粒子每次穿越Ⅱ區域時均做直線運動．
(1)求、的大小和方向．
(2)去掉Ⅱ和Ⅲ區域中的勻強電場和磁場，其他條件不變，仍在A處以相同的速度發射相同的粒子，請在Ⅱ和Ⅲ區城內重新設計適當的勻強電場或勻強磁場，使粒子運動的軌跡成為上下對稱的“8”字，且粒子運動的周期跟甲圖中相同．請通過必要的計算和分析，求出你所設計的“場”的大小、方向和區域，并在乙圖中描繪出帶電粒子的運動軌跡和你所設計的“場”．(上面半圓軌跡已在圖中畫出)

Answer 1

（1），方向水平向右；，方向水平向左．      
（2）在區域Ⅲ中，方向垂直紙面向外；在區域Ⅱ內軸左側加勻強電場，方向平行于軸 ；在區域Ⅱ內軸右側加勻強電場場強大小，方向平行于軸向左．

(1)粒子在Ⅰ、Ⅲ區域內運動時，有： (2分)

 (1分)  解得： (2分)
粒子在Ⅱ區域內運動時滿足： (2分)      
解得：，方向水平向右(2分)
同理可得：，方向水平向左．  (2分)
(2)粒子的運動軌跡如圖所示，根據對稱性，在區域Ⅲ中
只能存在勻強磁場，且滿足：，方向垂直紙面向外(2分)
由于周期相等，可以在區域Ⅱ內軸左側加勻強電場，方向平行于軸，使粒子沿軸方向的速度保持不變，從B點到點做類平拋運動，時間 (2分)
粒子沿軸方向的位移是，有：  (2分)
由牛頓第二定律，有： (1分)
代人數據解得：，方向平行于軸向右(2分)
根據對稱性，區域Ⅱ內軸右側加勻強電場，場強大小，方向平行于軸向左．(2分)