Question

【題目】如圖所示，是一個簡化后的娛樂項目示意圖，游客被安全地固定在球型裝備（看成質點，圖中未畫出）內，被彈射系統水平貼地彈出后即刻進入長為L=5m的水平軌道SO．O點既是水平路面的末端，也是半圓軌道OA的起點，以O點為坐標原點建立水平向右的x軸。豎直半圓軌道OA與AB（O、A、B在同一條豎直線上，B點為半圓軌道的最高點，該處切線水平）的半徑均為R=2m，它們在A點銜接，不計銜接處的縫隙大小和裝備運行到此處的能量損失。半圓軌道OA的右側是一片水域，水面略低于半徑r=2m的水平圓盤，MN是圓盤的豎直支架（它與半圓軌道在同一豎直面內），N點是圓盤的圓心，M點可以左右移動，水平圓盤不能和半圓軌道OA重疊。若球型裝備與SO之間的動摩擦因數μ=0.2，與兩半圓軌道的摩擦不計，圓盤轉軸NM的高度H=2m，不計空氣阻力，球型裝備的質量為50kg，在某次設備測試中，讓球型裝備空載運行，求：

（1）為了能讓裝備安全到達B點，則彈射系統應至少給裝備提供多少能量？

（2）若裝備恰好能安全到達B點，此后為讓裝備能落到水平圓盤上，求M點的坐標范圍；

（3）若M點的坐標為x=6m，為讓裝備能落到水平圓盤上，求彈射系統提供給裝備的能量。

Answer 1

【答案】（1）5000J（2）（4～2+2）m；（3）5000J＜E＜5833J。

【解析】

在最高點B根據牛頓第二定律求解速度，再根據能量關系可得能量大小；根據平拋運動的知識求解x的范圍；根據平拋運動求解平拋運動的最大初速度，根據能量關系求解能量范圍。

（1）在最高點B根據牛頓第二定律可得：

根據能量關系可得：

解得：E=5000J；

（2）根據平拋運動的知識可得：

水平方向上有：x=vBt

解得：

由于軌道不能重疊，所以x的范圍為（4～2+2）m；

（3）由于8m＞x=2m＞4m，故最小能量為：E1=5000J；

根據x′=v′Bt

解得：

最大能量為：

彈射系統提供給裝備的能量范圍為5000J＜E＜5833J。