Question

【題目】如圖所示，甲圖是游樂場的“空中摩托”設備示意圖，為了縮短項目收尾時的制動時間，某興趣小組設計了乙圖所示的簡化模型。平行光滑金屬導軌AG和DE、GC和EF的間距均為L，與水平面夾角均為θ，在最低點G、E平滑連接且對稱固定于水平地面上。導軌的兩端AD、CF間均接有阻值為R的電阻。在導軌的NMGE和GEKJ兩個矩形區域內存在著勻強磁場，磁感應強度大小均為B，方向分別垂直于兩軌道平面向上；區域邊界MN和JK的離地高度均為h。現將“空中摩托”簡化為電阻為r，質量為m，長為L的導體棒QT，它垂直導軌由離地為H的高度處從靜止釋放。若導體棒QT第一次到達GE時速度大小為v，第一次到達JK時速度恰好為0．假設整個過程QT均垂直于導軌且與導軌接觸良好，不計導軌電阻，不計空氣阻力和摩擦，重力加速度為g。求：

（1）導體棒QT第一次經過MN時它兩端的電壓大小；

（2）導體棒QT從靜止釋放后到最終狀態的整個過程中它的發熱量；

（3）導體棒QT從靜止釋放后到它第一次到達JK的時間；

（4）試判斷題中的物理量R和B對制動時間是否有影響；若有影響，請分析如何調整該變量，可以縮短制動時間（即相同情況下在更短的時間內停下來）？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）物理量R和B對制動時間有影響。應減小R，增大B，來縮短制動時間

【解析】

先根據機械能守恒定律求出導體棒QT第一次經過MN時的速度。由E=BLv求出QT產生的感應電動勢，由電壓的分配關系求QT兩端的電壓；由于電磁感應產生電流，從而使QT的重力勢能mgH全部轉化為焦耳熱，結合電路的結構求導體棒QT整個過程中的發熱量；對導體棒下滑和上滑的過程，分別運用動量定理列式，可求得導體棒QT從靜止釋放后到它第一次到達JK的時間；根據上題的結果，分析物理量R和B對制動時間是否有影響。

（1）導體棒QT從靜止釋放到第一次經過MN的過程，

由機械能守恒定律得：

解得：

導體棒QT第一次經過MN時產生的感應電動勢為：

導體棒QT第一次經過MN時它兩端的電壓為：

（2）由于電磁感應產生電流，從而使QT的重力勢能mgH全部轉化為焦耳熱，考慮到電路結構，故QT上的發熱量為：

（3）下滑階段，由動量定理得：mgsinθt1﹣BI1Lt1=mv，

上滑階段，由動量定理得：﹣mgsinθt2﹣BI2Lt2=0﹣mv

又 BI1Lt1′=BLq1，q1是下滑階段通過QT的電荷量

BI2Lt2′=BLq2，q2是下滑階段通過QT的電荷量

根據知：q1=q2

所以解得：

（4）物理量R和B對制動時間有影響。R越小，B越大，QT下滑過程受到的安培力平均值越大，產生的焦耳熱越大，到達GE時速度v越小，由上式知t越短，所以應減小R，增大B，來縮短制動時間。