Question

如圖甲所示，足夠長的平行傾斜導軌NM、PQ，兩軌道間距為d，其導軌平面與水平面的夾角為θ，上端M、P之間用導線相連，處于方向垂直導軌平面斜向上的均勻變化的磁場中，磁場的磁感應強度大小隨時間按如圖乙所示的規律變化（B_m、T已知）．質量為m的導體棒ab垂直導軌放在與M、P相距為l₀的位置，其與導軌間的動摩擦因數為μ（μ＞tanθ）．在磁感應強度從0開始不斷增大以后，ab棒將從靜止開始沿導軌上滑，到t₁時刻（t₁＜T），ab棒沿導軌通過的路程為l時，其速度達到最大值．已知ab棒上滑過程中始終與導軌垂直，且接觸良好，ab棒在導軌間部分的電阻為R，導軌和電線的電阻及空氣阻力可忽略不計，重力加速度為g，從t=0時刻開始計時，求：
（1）ab棒開始運動的時刻t₀（最大靜摩擦力可以認為等于滑動摩擦力）；
（2）在ab棒開始運動之前，通過ab棒的電荷量q；
（3）ab棒達到的最大速度v_m．

Answer 1

分析：（1）ab棒開始運動時，受到重力、斜面的支持力、安培力和摩擦力，此時靜摩擦力達到最大值．由法拉第電磁感應定律求出回路中感應電動勢大小，推導出安培力表達式，根據平衡條件求出ab棒開始運動的時刻t₀．
（2）在ab棒開始運動之前，回路中電流不變，由q=It₀，通過ab棒的電荷量q．
（3）當ab棒達到的最大速度v_m時，做勻速運動，此時磁感應強度B=

Bm

T

t1，根據平衡條件求出最大速度v_m．

解答：解：（1）ab棒開始運動時，有  F_A=mgsinθ+μmgcosθ  ①
由F_A=BIL，I=

E

R

，E=

△B

△t

S=

Bm

T

l0d  得，F_A=

Bml0d

TR

②
a在b棒開始運動的時刻t₀，則有B=

Bm

T

t0  ③
聯立①②③得
   t₀=

mgRT2(μcosθ+sinθ)

d2 l 2 0 B 2 m

（2）電量q=It₀，又I=

Bml0d

TR

解得，q=

mgT(μcosθ+sinθ)

dBm

（3）當ab棒達到最大速度v_m時，磁感應強度B=

Bm

T

t1
此時電流  I=

Bm T (l0-l)d- Bm T t1dvm

R

ab棒沿斜面方向受力平衡，有
    mgsinθ+μmgcosθ=BId
解得，v_m=

l0-l

t1

-

mgT2R(sinθ-μcosθ)

(dBmt1)2

答：
（1）ab棒開始運動的時刻t₀是

mgRT2(μcosθ+sinθ)

d2 l 2 0 B 2 m

；
（2）在ab棒開始運動之前，通過ab棒的電荷量q為

mgT(μcosθ+sinθ)

dBm

；
（3）ab棒達到的最大速度v_m是

l0-l

t1

-

mgT2R(sinθ-μcosθ)

(dBmt1)2

．

點評：本題考查了牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應電動勢公式．同時當金屬棒速度達到穩定時，則一定是處于平衡狀態，原因是安培力受到速度約束的．