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【題目】已知橢圓過點，且離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點與點均在橢圓上，且關于原點對稱，問：橢圓上是否存在點（點在一象限），使得為等邊三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【題目】某中學高三年級有學生500人，其中男生300人，女生200人。為了研究學生的數學成績是否與性別有關，采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，統計了他們期中考試的數學分數，然后按照性別分為男、女兩組，再將兩組的分數分成5組： 分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖。

（I）從樣本分數小于110分的學生中隨機抽取2人，求兩人恰為一男一女的概率；

（II）若規定分數不小于130分的學生為“數學尖子生”，請你根據已知條件完成2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“數學尖子生與性別有關”?

附表：

【題目】若函數對定義域內的任意，當時，總有，則稱函數為單調函數，例如函數是單純函數，但函數不是單純函數，下列命題：

①函數是單純函數；

②當時，函數在是單純函數；

③若函數為其定義域內的單純函數， ，則

④若函數是單純函數且在其定義域內可導，則在其定義域內一定存在使其導數，其中正確的命題為__________．（填上所有正確的命題序號）

【題目】已知函數.

討論的單調性.

若，求的取值范圍.

（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；

（2）建立y關于x的回歸方程，并據此預計該校學生升入中學的第一年（年級代碼為7）給父母洗腳的百分比．

附注：參考數據：

參考公式：相關系數，若r＞0.95，則y與x的線性相關程度相當高，可用線性回歸模型擬合y與x的關系．回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為＝ ，．

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，為邊上一點，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若，試問：是否與平面平行？若平行，求三棱錐的體積；若不平行，請說明理由.

【題目】函數， .（1）討論的極值點的個數；（2）若對于，總有.（i）求實數的取值范圍；（ii）求證：對于，不等式成立.

【題目】因客流量臨時增大，某鞋店擬用一個高為50（即）的平面鏡自制一個豎直擺放的簡易鞋鏡，根據經驗：一般顧客的眼睛到地面的距離為（）在區間內，設支架高為（），，顧客可視的鏡像范圍為（如圖所示），記的長度為（）.

（I）當時，試求關于的函數關系式和的最大值；

（II）當顧客的鞋在鏡中的像滿足不等關系（不計鞋長）時，稱顧客可在鏡中看到自己的鞋，若使一般顧客都能在鏡中看到自己的鞋，試求的取值范圍.

【題目】某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：

（1）請將上表數據補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數的解析式；

（2）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，并把圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象.若圖象的一個對稱中心為，求的最小值；

（3）在（2）條件下，求在上的增區間.

【題目】在中，且，邊上的中線長為，則的面積是________．