Question

【題目】因客流量臨時增大，某鞋店擬用一個高為50（即）的平面鏡自制一個豎直擺放的簡易鞋鏡，根據經驗：一般顧客的眼睛到地面的距離為（）在區間內，設支架高為（），，顧客可視的鏡像范圍為（如圖所示），記的長度為（）.

（I）當時，試求關于的函數關系式和的最大值；

（II）當顧客的鞋在鏡中的像滿足不等關系（不計鞋長）時，稱顧客可在鏡中看到自己的鞋，若使一般顧客都能在鏡中看到自己的鞋，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）.

【解析】

（I）根據三角形的相似，求出，的長，從而可構建函數，求導數，確定函數的單調性，即可求得結論；（II）根據三角形的相似，求出，，由題意知，即對恒成立，從而對恒成立，由此可求得的取值范圍.

（I）因為，，所以由，即，解得，同理，由，即，解得，所以，因為，所以在上單調遞減，故當時，取得最大值為

（II）由，得，由，得，所以由題意知，即對恒成立，從而對恒成立，解得，故的取值范圍是