Question

【題目】函數， .（1）討論的極值點的個數；（2）若對于，總有.（i）求實數的取值范圍；（ii）求證：對于，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數有兩個極值點；當時，函數沒有極值點. （2）①②見解析

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，轉化為研究二次函數實根分布：當，導函數不變號，無極值；當，分時，兩個正根，有兩個極值點； 時，兩個負根，無極值點（2）①不等式恒成立問題利用變量分離轉化為對應函數最值問題： ，再利用導數研究函數單調性，并得最小值，即得實數的取值范圍；②由①轉化證明，利用導數研究函數單調性，可得

試題解析： 解：由題意得 ，令，

（1）當，即時， 對恒成立，

即對恒成立，此時沒有極值點；

（2）當，即或，

①時，設方程兩個不同實根為，不妨設，

則， ，故，

或時， ；在時，

故是函數的兩個極值點.

②時，設方程兩個不同實根為，

則， ，故， ，

時， ；故函數沒有極值點.

綜上，當時，函數有兩個極值點；

當時，函數沒有極值點.

（2）① ， 在 單調遞減，在 單調遞增，所以

②只需證明 易得在 單調遞減，在 單調遞增， ，得證.