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【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出直線的直角坐標方程；

（2）設點的坐標為，若點是曲線截直線所得線段的中點，求的斜率.

【題目】若函數為奇函數，且時有極小值.

（1）求實數的值；

（2）求實數的取值范圍；

（3）若恒成立，求實數的取值范圍.

【題目】定義：若無窮數列滿足是公比為的等比數列，則稱數列為“數列”.設數列中

（1）若，且數列是“數列”，求數列的通項公式；

（2）設數列的前項和為，且，請判斷數列是否為“數列”，并說明理由；

（3）若數列是“數列”，是否存在正整數，使得？若存在，請求出所有滿足條件的正整數；若不存在，請說明理由.

【題目】如圖，是一塊半徑為4米的圓形鐵皮，現打算利用這塊鐵皮做一個圓柱形油桶.具體做法是從中剪裁出兩塊全等的圓形鐵皮與做圓柱的底面，剪裁出一個矩形做圓柱的側面（接縫忽略不計），為圓柱的一條母線，點在上，點在的一條直徑上，，分別與直線、相切，都與內切.

（1）求圓形鐵皮半徑的取值范圍；

（2）請確定圓形鐵皮與半徑的值，使得油桶的體積最大.（不取近似值）

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（其中為參數，為的傾斜角，且），曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程及曲線的直角坐標方程；

（2）已知點，曲線與交于兩點，與交于點，且，求的普通方程.

【題目】如圖，在三棱錐中，頂點在底面上的投影在棱上，，，，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）已知點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

（1）函數可以同時是無數個圓的“太極函數”；

（2）函數可以是某個圓的“太極函數”；

（3）若函數是某個圓的“太極函數”，則函數的圖象一定是中心對稱圖形；

（4）對于任意一個圓，其“太極函數”有無數個.

【題目】在直角坐標系中，圓經過伸縮變換后得到曲線．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度，建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求曲線的直角坐標方程及直線的直角坐標方程；

（2）設點是上一動點，求點到直線的距離的最大值．

【題目】已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為.設拋物線的焦點在直線的下方.

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）設C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為. 判斷四邊形是否為梯形，并說明理由.

【題目】已知函數．

(1)若，求函數的所有零點；

(2)若，證明函數不存在極值．