Question

【題目】在直角坐標系中，圓經過伸縮變換后得到曲線．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度，建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求曲線的直角坐標方程及直線的直角坐標方程；

（2）設點是上一動點，求點到直線的距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（Ⅰ）由經過伸縮變換，可得曲線的方程，由極坐標方程可得直線的直角坐標方程．

（Ⅱ）因為橢圓的參數方程為 （為參數），所以可設點，

由點到直線的距離公式，點到直線的距離為由三角函數性質可求點到直線的距離的最大值.

（Ⅰ）由經過伸縮變換，可得曲線的方程為，即，由極坐標方程可得直線的直角坐標方程為．

（Ⅱ）因為橢圓的參數方程為 （為參數），所以可設點，

由點到直線的距離公式，點到直線的距離為（其中，），由三角函數性質知，當時，點到直線的距離有最大值．