Question

【題目】如圖，在三棱錐中，頂點在底面上的投影在棱上，，，，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）已知點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）存在，

【解析】

（1）由題知：平面，所以平面平面，因為，所以平面，所以.又根據勾股定理得到，所以平面.

（2）首先以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，找到相應點的坐標，再分別求出平面和平面的法向量，帶入公式計算即可.

（3）首先設，，根據平面，得到，即可求出，再計算即可.

（1）因為頂點在底面上的射影在棱上，

所以平面，

因為平面，

所以平面平面，

因為，所以，

因為平面平面，

平面，所以平面，

又平面，所以，

由，，

得，所以，

因為且平面，

平面，平面，

所以平面.

（2）連接，

因為為的中點，為的中點，，

所以，

如圖，以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，

，

，

設為平面的一個法向量，

則.取，得，

設平面的一個法向量，

則，取，則.

設二面角的平面角為，

則，

所以二面角的余弦值為.

（3）設，，

因為平面，

所以，，

所以，，.