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【題目】如圖，已知橢圓過點兩個焦點為和.圓O的方程為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過且斜率為的動直線l與橢圓C交于A、B兩點，與圓O交于P、Q兩點（點A、P在x軸上方），當成等差數列時，求弦PQ的長.

【題目】如圖，在長方體中，，，，平面截長方體得到一個矩形，且，．

（1）求截面把該長方體分成的兩部分體積之比；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

【題目】已知直線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數）.

（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；

（2）若過且與直線垂直的直線與曲線相交于、兩點，求.

【題目】已知動圓與直線相切，且與圓外切.

（1）求動圓圓心軌跡的方程；

（2）已知過點的直線:與曲線交于，兩點，是否存在常數，使得恒為定值？

【題目】已知等差數列滿足且，等比數列的首項為2，公比為.

（1）若，問等于數列中的第幾項？

（2）若，數列和的前項和分別記為和，的最大值為，試比較與的大小.

【題目】某某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組： ，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；

（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40,50）內的人數；

（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．

A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）D.（2）（4）

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；

（ii）當最小時，求點T的坐標.

【題目】某地區2020年清明節前后3天每天下雨的概率為60%，通過模擬實驗的方法來計算該地區這3天中恰好有2天下雨的概率：用隨機數（，且）表示是否下雨：當時表示該地區下雨，當時，表示該地區不下雨，從隨機數表中隨機取得20組數如下

332 714 740 945 593 468 491 272 073 445

992 772 951 431 169 332 435 027 898 719

（1）求出的值，并根據上述數表求出該地區清明節前后3天中恰好有2天下雨的概率；

（2）從2011年開始到2019年該地區清明節當天降雨量（單位：）如下表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）.

經研究表明：從2011年開始至2020年， 該地區清明節有降雨的年份的降雨量與年份成線性回歸，求回歸直線，并計算如果該地區2020年（）清明節有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）

參考公式：.

參考數據：，，

，.

（1）在不受情緒的影響下，該選手每局獲勝的概率為；但實際上，如果前一句獲勝的話，此選手該局獲勝的概率可提升到；而如果前一局失利的話，此選手該局獲勝的概率則降為，求該選手在前3局獲勝局數的分布列及數學期望；

（2）假設選手的三局比賽結果互不影響，且三局比賽獲勝的概率為，記為銳角的內角，求證：