Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）求函數在區間上的值域；

（3）若，過原點分別作曲線的切線、，且兩切線的斜率互為倒數，求證：.

Answer 1

【答案】（1）的增區間為，減區間為；（2）答案見解析；（3）見解析.

【解析】

(1)首先求得導函數的解析式，然后結合導函數的解析式可得函數的單調區間；

(2)首先求得導函數的解析式，然后結合導函數的解析式分類討論確定函數的單調性，由函數的單調性可得函數的值域；

(3)首先確定函數的切線方程，據此確定函數的切線方程滿足的條件，得到關于橫坐標的函數解析式，據此構造函數，求導之后分類討論即可證得題中的結論.

（1）當時，，定義域為.

令，得增區間為；令，得減區間為.

（2）.

當時，，在上為增函數，故，

從而的值域為；

當時，，在上為減函數，故，

從而的值域為；

當時，時，，遞增；，，遞減

故的最大值為；最小值為與中更小的一個，

當時，最小值為；

當時，，最小值為.

綜上所述，當時，值域為；

當時，值域為；

當時，值域為；

當時，值域為.

（3）設切線對應切點為，切線方程為，

將代入，解得，從而.

設與曲線的切點為，解得①

切線方程為，將代入，得②

將①代入②，得，

令，則，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

若，由，則.

而在上單調遞減，故；

若，因在區間上單調增，且，

所以，與題設矛盾，故不可能.

綜上所述，.