Question

【題目】如圖，橢圓的離心率為，以橢圓的上頂點為圓心作圓，

，圓與橢圓在第一象限交于點,在第二象限交于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求出此時圓的方程；

（3）設(shè)點是橢圓上異于的一點，且直線分別與軸交于點為坐標(biāo)原點，求證:

為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件求出參數(shù)即可；（2）依據(jù)題設(shè)條件及向量的數(shù)量積公式建立目標(biāo)函數(shù)，再借助該函數(shù)取得最小值時求出圓的方程；（3）借助直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析推證：

試題解析：

(1) 由題意知， ,得.

故橢圓的方程為.

(2) 點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)，由點橢圓上，則,得

.由題意知， ,當(dāng)時， 取得最小值.此時， ，故.又點在圓上，代入圓的方程，得.

故圓的方程為.

（3）設(shè)，則的方程為.令，得.同理可得， . 故. ①

都在橢圓上， ,代入①得， .即得為定值.