Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，點在線段上，且．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得，若存在，求出線段的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）存在，線段的長.

【解析】

（Ⅰ）在四邊形中,可以證明出，以為空間直角坐標系的原點，建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，利用，可以證明出；

（Ⅱ）求出平面的法向量、平面的法向量，利用空間向量的數量積求出向量夾角的余弦值的絕對值，利用同角三角函數關系式，求出二面角的正弦值；

（Ⅲ）設存在線段上存在點，使得，設的坐標，求出平面的法向量，利用與平面的法向量垂直，可以求出的坐標，進而求出線段的長.

（Ⅰ）在四邊形中，，，，根據勾股定理，可求出,利用勾股定理的逆定理可知：，以為空間直角坐標系的原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：

所以，因為，

所以，因此可求出坐標為,

因為,所以;

（Ⅱ）設平面的法向量為,,

，

設平面的法向量為,

，

設的夾角為，；

（Ⅲ）設存在線段上存在點，使得，

,設平面的法向量為,

,

,

因為,所以,

.