Question

【題目】已知雙曲線C和橢圓有公共的焦點，且離心率為．

（1）求雙曲線C的方程．

（2）經過點M（2，1）作直線l交雙曲線C于A，B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程并求弦長．

Answer 1

【答案】（1）x21 （2）y＝4x﹣7，弦長

【解析】

（1）求出雙曲線的焦點坐標，結合離心率，聯立求解a,b,c得到雙曲線的方程；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程，用點差法求出直線斜率，弦長公式求弦長即可.

（1）由題意得橢圓的焦點為F1（，0），F2（，0），

設雙曲線方程為1，a＞0，b＞0，

則c2＝a2+b2＝3，

∵e

∴ca，

解得a2＝1，b2＝2，

∴雙曲線方程為x21．

（2）把A（x1，y1），B（x2，y2）分別代入雙曲線x12y12＝1，x22y22＝1，

兩式相減，得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，

把x1+x2＝4，y1+y2＝2代入，得4（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，

∴kAB4，

∴直線L的方程為y＝4x﹣7，

把y＝4x﹣7代入x21，

消去y得14x2﹣56x+51＝0，

∴x1+x2＝4，x1x2＝ ，k＝4，

∴|AB|．