Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求證：AA₁⊥平面ABC；
（2）求點A₁到平面B₁BCC₁的距離；
（3）求二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（ I）由已知條件推導出AA₁⊥AC，AA₁垂直于交線AC，由此能證明AA₁⊥平面ABC．
（2）以A為原點，AC為x軸，A耿y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點A₁到平面B₁BCC₁的距離．
（3）求出平面A₁BC₁的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值．

解答： （ I）證明：因為AA₁C₁C為正方形，所以AA₁⊥AC．
因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
且AA₁垂直于這兩個平面的交線AC，
所以AA₁⊥平面ABC．
（2）解：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁C₁C是邊長為4的正方形，
平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5，
∴AC⊥AB，
以A為原點，AC為x軸，A耿y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A₁（0，0，4），C（4，0，0），B（0，3，0），C₁（4，0，4），A₁（0，0，4），

CA1

=（4，0，-4），

CC1

=（0，0，4），

CB

=（-4，3，0），
設平面B₁BCC₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • CC1 =4z=0 n • CB =-4x+3y=0

，取x=3，得

n

=（3，4，0），
∴點A₁到平面B₁BCC₁的距離d=

| CA1 • n |

| n |

=

|12|

5

=

12

5

．
（3）解：

A1C1

=（4，0，0），

A1B

=（0，3，-4），
設平面A₁BC₁的法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • A1C1 =4a=0 m • A1B =3b-4c=0

，取b=4，得

m

=(0，4，3)，
設二面角A₁-BC₁-B₁的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

16

5×5

|=

16

25

，
∴sinθ=

1-( 16 25 )2

=

3 41

25

．
∴二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值為

3 41

25

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．