Question

（1）已知直線l的傾斜角是直線m：y=-

3

x+1的傾斜角的一半，求經(jīng)過點(diǎn)P（2，2）且與直線l垂直的直線方程．
（2）已知直線l經(jīng)過Q（3，-2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)直線m：y=-

3

x+1的傾斜角為2α，則直線l的傾斜角為α，且α為銳角，由正切二倍角公式求出直線l的斜率，從而得到與直線l垂直的直線的斜率，由此能求出所求的直線方程．
（2）若橫截距a=0，則縱截距b=0，則直線l過（0，0），（3，-2）：若橫截距a≠0，則縱截距b=-a，則直線l的方程為

x

a

-

y

a

=1．，由此利用分類討論思想能求出所求的直線方程．

解答： 解：（1）設(shè)直線m：y=-

3

x+1的傾斜角為2α，則直線l的傾斜角為α，且α為銳角，
tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

3

，
解得tanα=

3

，或tanα=-

3

3

（舍）
∴經(jīng)過點(diǎn)P（2，2）且與直線l垂直的直線方程的斜率k=-

3

3

，
∴經(jīng)過點(diǎn)P（2，2）且與直線l垂直的直線方程為：
y-2=-

3

3

(x-2)，即

3

x+3y-6-2

3

=0．
（2）若橫截距a=0，則縱截距b=0，
則直線l過（0，0），（3，-2），
∴直線l的方程為

y

x

=

-2

3

，即2x+3y=0．
若橫截距a≠0，則縱截距b=-a，
則直線l的方程為

x

a

-

y

a

=1，
把點(diǎn)（3，-2）代入，得

3

a

+

2

a

=1，解得a=5，
∴直線l的方程為

x

5

-

y

5

=1，整理，得：x-y-5=0．
∴直線方程為x-y-5=0，或2x+3y=0．

點(diǎn)評：本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．