Question

已知遞增數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，4S_n-4n+1=a_n²．設b_n=

1

anan+1

，n∈N^*，且數列{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求證：數列{a_n}為等差數列；
（2）試求所有的正整數m，使得

am2+am+12-am+22

amam+1

為整數；
（3）若對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+18（-1）ⁿ⁺¹恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出a_n-2=a_n-1（n≥2）或a_n-2=-a_n-1（n≥2），由此能證明數列{a_n}為等差數列．
（2）由a_n=2n-1，知

am2+am+12-am+22

amam+1

=1-

6

2m-1

，由此能求出所有的正整數m，使得

am2+am+12-am+22

amam+1

為整數．
（3）由a_n=2n-1，知bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項求和法結合已知條件能求出實數λ的取值范圍．

解答： （1）證明：由4Sn-4n+1=an2，
得4Sn-1-4(n-1)+1=an-12(n≥2)，…（2分）
所以4an-4=an2-an-12(n≥2)，
即an2-4an+4=an-12，即(an-2)2=an-12（n≥2），
所以a_n-2=a_n-1（n≥2）或a_n-2=-a_n-1（n≥2），
即a_n-a_n-1=2（n≥2）或a_n+a_n-1=2（n≥2），…（4分）
若a_n+a_n-1=2（n≥2），則有a₂+a₁=2，又a₁=1，
所以a₂=1，則a₁=a₂，這與數列{a_n}遞增矛盾，
所以a_n-a_n-1=2（n≥2），故數列{a_n}為等差數列．…（6分）
（2）解：由（1）知a_n=2n-1，
所以

am2+am+12-am+22

amam+1

=

(2m-1)2+(2m+1)2-(2m+3)2

(2m-1)(2m+1)

=

4m2-12m-7

4m2-1

=

4m2-1-12m-6

4m2-1

=1-

6

2m-1

，…（8分）
因為1-

6

2m-1

∈Z，所以

6

2m-1

∈Z，
又2m-1≥1且2m-1為奇數，所以2m-1=1或2m-1=3，故m的值為1或2．…（10分）
（3）解：由（1）知a_n=2n-1，則bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，…（12分）
從而λ•

n

2n+1

＜n+18(-1)n+1對任意n∈N^*恒成立等價于：
當n為奇數時，λ＜

(2n+1)(n+18)

n

恒成立，
記f(n)=

(2n+1)(n+18)

n

，則f(n)=2(n+

9

n

)+37≥49，當n=3時取等號，所以λ＜49，
當n為偶數時，λ＜

(2n+1)(n-18)

n

恒成立．
記g(n)=

(2n+1)(n-18)

n

，因為g(n)=2(n-

9

n

)-35遞增，所以g（n）_min=g（2）=-40，
所以λ＜-40．綜上，實數λ的取值范圍為λ＜-40．…（16分）

點評：本題考查等差數列的證明，考查滿足條件的所有的正整數的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要注意裂項求和法的合理運用．