Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y²=2x相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點．
（1）求證：命題“如果直線l過點T（3，0），那么y₁y₂=-6”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由；
（3）若直線l過T（3，0），求三角形ABO面積的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設過點T（3，0）的直線l交拋物線y²=2x于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．當直線l的斜率下存在時，直線l的方程為x=3，求出交點A，B的坐標即可得出；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-3），其中k≠0．與拋物線的方程聯立，再利用根與系數的關系即可得出．
（2）逆命題是“直線l與拋物線y²=2x相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，若y₁y₂=-6，則直線l過定點T（3，0）”．
該命題是真命題．證明如下：設直線l的方程為：my=x+n．與拋物線的方程聯立，利用根與系數的關系可得n=-3．于是直線l的方程化為my=x-3，
令y=0，即可得到直線l過定點T（3，0）．
（3）由（1）可得：y₁y₂=-6．可得S_△ABO=

1

2

•|OT|•|y1-y2|=

1

2

×3×|y1+

6

y1

|，再利用基本不等式即可得出．

解答： （1）證明：設過點T（3，0）的直線l交拋物線y²=2x于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
當直線l的斜率下存在時，直線l的方程為x=3，
此時，直線L與拋物線相交于A（3，

6

）、B（3，-

6

），
∴y₁y₂=-6；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-3），其中k≠0．
聯立

y2=2x y=k(x-3)

，得ky²-2y-6k=0，
∴y1y2=

-6k

k

=-6．
綜上可得：命題“如果直線l過點T（3，0），那么y₁y₂=-6”是真命題．
（2）解：逆命題是“直線l與拋物線y²=2x相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，若y₁y₂=-6，則直線l過定點T（3，0）”．
該命題是真命題．
證明如下：設直線l的方程為：my=x+n．
聯立

my=x+n y2=2x

，化為y²-2my+2n=0，
可得y₁y₂=2n=-6．解得n=-3．
∴直線l的方程化為my=x-3，
令y=0，解得x=3．
∴直線l過定點T（3，0）．
（3）解：由（1）可得：y₁y₂=-6．
∴S_△ABO=

1

2

•|OT|•|y1-y2|=

1

2

×3×|y1+

6

y1

|≥3

6

．
故△OAB的面積的最小值為3

6

．

點評：本題考查了直線與拋物線的相交過定點問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．