Question

已知函數，
（1）求函數的單調區間；
（2）當時，函數恒成立，求實數的取值范圍；
（3）設正實數滿足．求證：
．

Answer 1

（1）當時，只有單調遞增區間；
當時，單調遞增區間為，；
單調遞減區間為
（2）
（3）由（2）知，在恒成立，構造函數來求證不等式。

試題分析：
1） 
 ，   1分
由的判別式，
①當即時，恒成立，則在單調遞增； 2分
②當時，在恒成立，則在單調遞增；   3分
③當時，方程的兩正根為
則在單調遞增，單調遞減，單調遞增．
綜上，當時，只有單調遞增區間；
當時，單調遞增區間為，；
單調遞減區間為．    5分
（2）即時，恒成立．
當時，在單調遞增，
∴當時，滿足條件．  7分
當時，在單調遞減，
則在單調遞減，
此時不滿足條件，
故實數的取值范圍為．                             9分
（3）由（2）知，在恒成立，
令 ，則  ，     10分
∴．                 11分
又，
∴ ，                      13分
∴ ．                                     14分
點評：主要是考查了導數在研究函數單調性中的運用，屬于基礎題。