Question

設函數，其中為常數．
（Ⅰ）當時，判斷函數在定義域上的單調性；
（Ⅱ）當時,求的極值點并判斷是極大值還是極小值；
（Ⅲ）求證對任意不小于3的正整數，不等式都成立．

Answer 1

（1）當時， ，函數在定義域上單調遞增
（2）時，有惟一極小值點，
（3）由(2)可知當時，函數，此時有惟一極小值點故可以得到函數借助于單調性來證明不等式。

試題分析：解：（1）由題意知，的定義域為，
    
當時， ，函數在定義域上單調遞增．  …………4分
（2）當時有兩個不同解， ，,
此時 ，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：時，有惟一極小值點，     ………8分
（3）由(2)可知當時，函數，
此時有惟一極小值點
且 
                      …… 11分
令函數
 
 13分
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，以及函數的極值，以及函數與不等式的綜合運用，屬于難度題。