Question

【題目】定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時，f（x）=，則關于x的函數F（x）=f（x）-的所有零點之和為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據分段函數的解析式和奇函數的對稱性作出函數在上的圖象和的圖象，利用數形結合的方法求解即可

∵當x≥0時，f（x）=；

即x∈時，f（x）=

x∈[1，3]時，f（x）=x-2∈[-1，1]；

x∈（3，+∞）時，f（x）=4-x∈（-∞，-1）

畫出x≥0時f（x）的圖象，

再利用奇函數的對稱性，畫出x＜0時f（x）的圖象，如圖所示；

則直線，與y=f（x）的圖象有5個交點，則方程f（x）-=0共五個實根，

最左邊兩根之和為-6，最右邊兩根之和為6，

∵x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），∴f（-x）=

又f（-x）=-f（x），

∴f（x）=-=

∴中間的一個根滿足

即1-x=，解得x=1-，

∴所有根的和為

故答案為：