Question

【題目】如圖，某市園林局準備綠化一塊直徑為的半圓空地，以外的地方種草，的內接正方形為一水池，其余的地方種花，若為定值），，設的面積為，正方形的面積為

(1)用表示；

(2)當為何值時，取得最大值，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最大值為，此時.

【解析】試題分析：（1）在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=α，由AB=acosα，AC=asinα，能求出S1；設正方形PQRS的邊長為x，則BP=，AP=xcosα，由BP+AP= ，AB=acosα，AP+BP=AB，能求出S2．

（2）=，令sin2α=t，推導出=，0＜t≤1，設f（t）=（0＜t≤1），推導出f（t）=在（0，1]上單調遞減，由此能求出的最大值及相應的α．

試題解析：

（1）在中，，

所以

設正方形的邊長為，則

由 又

所以

令，由得，所以

設，任取，

則

在上單調減，所以，

所以

所以的最大值為，此時