Question

【題目】如圖，已知圓柱內有一個三棱錐，為圓柱的一條母線，，為下底面圓的直徑，，.

（1）在圓柱的上底面圓內是否存在一點，使得平面？證明你的結論.

（2）設點為棱的中點，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）當點為上底面圓的圓心時，證明見解析.（2）

【解析】

（1）當點為上底面圓的圓心時，平面，取上底面圓的圓心為，連接，，，，先證明四邊形為平行四邊形，可得到，然后可得四邊形為平行四邊形，然后得到即可.

（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，算出平面的法向量，平面的一個法向量為，然后算出答案即可.

（1）當點為上底面圓的圓心時，平面.

證明如下：

如圖，取上底面圓的圓心為，連接，，，，

則，.

所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以.

又，所以四邊形為平行四邊形，

所以.

因為平面，平面，

所以平面.

故點為上底面圓的圓心時，平面.

（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

于是可得，，，，，，

所以，.

設平面的一個法向量為，

由，得.

令，則可取.

取平面的一個法向量為.

設平面與平面所成的銳二面角為，則

，

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.