Question

【題目】若函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足條件：|x1x2+y1y2|的最大值為0，則稱f（x）為“柯西函數(shù)”，則下列函數(shù)：

①f（x）＝x（x＞0）；

②f（x）＝lnx（0＜x＜3）；

③f（x）＝cosx；

④f（x）＝x2﹣1.

其中為“柯西函數(shù)”的個數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由“柯西函數(shù)”得函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共線，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O共線，分別判斷即可.

對由柯西不等式得：對任意實(shí)數(shù)x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k，使得x1＝kx2，y1＝ky2取等號），

若函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足條件：|x1x2+y1y2|的最大值為0，

則函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

使得、共線，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O共線.

設(shè)AB的方程為y＝kx，由，得，不可能存在兩個正數(shù)解，故①不是柯西函數(shù)；

對于②，由得，

令，由得，此時(shí)為增函數(shù)；由得，此時(shí)為減函數(shù)，所以有極大值；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，有兩個不同的交點(diǎn)，故②是柯西函數(shù)；

對于③，取A（0，0），點(diǎn)B任意，均滿足定義，故③是柯西函數(shù)

對于④取A（﹣1，0），B（1，0），均滿足定義，故④是柯西函數(shù)

故選：C.