Question

【題目】已知拋物線，且拋物線在點處的切線斜率為，直線與拋物線交于兩點（點在點左側(cè)），且直線垂直于直線．

（1）求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；

（2）如圖，直線交軸于點，直線交軸于點，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，定點；（2）50

【解析】

（1）首先根據(jù)題意求出拋物線方程，然后求出點的坐標(biāo)，再由直線互相垂直，求出直線的斜率，求出直線的方程，進而可得定點坐標(biāo)；

（2）首先設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，求出的橫坐標(biāo)，最后利用弦長公式，即可求解．

（1）由題意可得．

當(dāng)時，，

拋物線的方程為．

．

設(shè)，

，

，

化簡得．

又，

直線的方程為，

即．

將式代入直線的方程，得：，

令，則，

可得直線過定點．

（2）設(shè)直線的方程為，

不妨設(shè)，易知，

聯(lián)立，得，得，

，

利用根與系數(shù)的關(guān)系得

同理可得，

易知，

，

，

的最大值為50．